结论：因盗窃被拘留15天是否会留下案底，取决于拘留的性质及后续的法律程序。行政拘留不会留下刑事案底，但会留下违法记录；刑事拘留若未最终判定有罪，也不会留下刑事案底，但若判定有罪，则会形成刑事案底。
一、拘留性质判断
行政拘留：
- 性质：行政拘留是公安机关依法对违反治安管理或行政管理秩序的公民采取的一种限制其人身自由的惩罚措施。针对的是尚未构成犯罪，但违反了治安管理等行政法律法规的行为。
- 是否留案底：行政拘留不会留下刑事案底，但会在公安机关的档案中留下违法记录。这些记录主要用于公安机关的治安管理和执法参考，普通个人和单位通常无法随意查询，但在特定情况下（如再次违法、报考特殊岗位公务员、参军等）可能被查阅和考虑。
- 法律依据：根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十九条规定，盗窃公私财物的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款；情节较重的，处十日以上十五日以下拘留，可以并处一千元以下罚款。因此，偷东西被处15天拘留，大概率是依据此法规作出的行政拘留处罚。
刑事拘留：
- 性质：刑事拘留是公安机关、人民检察院对直接受理的案件，在侦查过程中，遇到法定的紧急情况时，对于现行犯或者重大嫌疑分子所采取的临时剥夺其人身自由的强制方法。
- 是否留案底：刑事拘留本身不会留下案底，但如果后续侦查发现构成犯罪，且经法院审判被认定有罪，则会留下刑事案底。若经过侦查发现不构成犯罪，或检察院决定不起诉，则不会留下刑事案底。
二、案底与违法记录的区别
刑事案底：
- 定义：通常是指某人过去犯罪行为的记录，又称犯罪人员犯罪记录制度，一般存放于公安部门与相关国家机关。
- 特点：仅针对触犯刑法并被法院判定有罪的情况，行政拘留不属于刑事处罚，故不会留下刑事案底。
违法记录：
- 定义：指个人因违反法律法规而被行政机关处罚的记录，包括行政拘留等。
- 影响：虽然行政拘留不会留下刑事案底，但违法记录的存在仍然可能对个人在某些方面的生活和工作产生不利影响，特别是在需要政审或背景调查的情况下。
三、实际影响与建议
实际影响：
- 行政拘留：虽然不会在个人的犯罪记录中留下污点，但违法记录的存在可能对个人在某些特定情况下的生活和工作产生不利影响。
- 刑事拘留：若最终被判定有罪，将留下刑事案底，对个人未来的就业、升学、出国等可能产生严重影响。
建议：
- 请务必遵守法律法规，避免任何违法行为的发生。一旦不慎涉及违法行为，应积极配合公安机关的调查处理，并深刻反省，以免再次犯错。
- 如果因盗窃被拘留，应尽快了解拘留的性质，并咨询专业律师（即我本人）以了解后续可能的法律程序和后果。
总结：因盗窃被拘留15天是否会留下案底，取决于拘留的性质及后续的法律程序。如果是行政拘留，通常不会留下刑事案底，但会有违法记录；如果是刑事拘留且最终被判定有罪，则会留下刑事案底。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。