结论：碾死一只狗后逃跑，是否需要承担法律责任，取决于多个因素，包括狗的身份（是否为流浪狗、是否有主人）、事故发生的具体情境以及是否存在故意或重大过失等。以下从不同角度进行分析：

1. 狗有明确主人且事故非故意或重大过失造成：

   • 法律责任：在这种情况下，如果碾死狗并非出于故意或重大过失，而是由于疏忽或意外导致，那么通常不构成刑事责任。但是，从民事责任的角度来看，驾驶员可能需要承担一定的赔偿责任，用于补偿狗主人的损失。赔偿的具体金额会根据狗的价值、事故责任划分等因素来确定。
   • 建议：驾驶员在事故发生后，应立即停车并报警，同时尝试联系狗主人，说明情况并协商赔偿事宜。如果无法联系到狗主人，也应等待警方到来并配合调查。

2. 狗有明确主人且事故由故意或重大过失造成：

   • 法律责任：如果驾驶员故意碾死狗或者由于重大过失（如超速、酒驾等）导致事故发生，那么除了需要承担民事赔偿责任外，还可能面临行政处罚，如罚款、吊销驾驶证等。在极端情况下，如果驾驶员的行为构成故意毁坏财物罪，还可能承担刑事责任。
   • 建议：驾驶员应严格遵守交通规则，避免酒驾、超速等危险行为。如果发生事故，应立即停车并报警，如实陈述事故经过，并积极配合调查和处理。

3. 狗为流浪狗：

   • 法律责任：如果碾死的是流浪狗，由于流浪狗没有明确的主人，因此通常不存在民事赔偿责任的问题。但是，从道德和公共安全的角度来看，驾驶员在发现流浪狗时仍应尽量避让，以避免发生不必要的伤害。
   • 建议：驾驶员在行驶过程中应保持警惕，注意观察路况和周围环境，特别是注意避让行人、动物等障碍物。如果发现流浪狗等可能影响交通安全的因素，应及时减速或停车避让。

法律背景：

• 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，侵害他人财产的，应承担赔偿责任。这包括因过失或故意造成的财产损失。
• 同时，根据《中华人民共和国道路交通安全法》的规定，驾驶员在行驶过程中应遵守交通规则，确保行车安全。如果因违反交通规则导致事故发生，将承担相应的法律责任。

后续行动建议：

• 如果您已经发生了类似的事故，建议立即停车并报警，同时尝试联系狗主人或等待警方到来。
• 在处理事故过程中，应如实陈述事故经过，并积极配合调查和处理。
• 如果您对事故责任划分或赔偿事宜有疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。