被冤枉坐牢的公民，有权依法向赔偿义务机关申请国家赔偿，赔偿主要包括侵犯人身自由的赔偿金、精神损害抚慰金等。以下是对这一问题的详细解答：
一、赔偿原则与方式
- 赔偿原则：国家赔偿以支付赔偿金为主要方式，若可能，也会采取返还财产或恢复原状的方式。
- 赔偿方式：主要涉及侵犯人身自由的赔偿，同时也包括因冤案导致的身体伤害、部分或全部丧失劳动能力以及死亡的赔偿。
二、赔偿义务机关
行使侦查、检察、审判职权的机关及看守所、监狱管理机关，在行使职权时侵犯公民人身权造成错误羁押的，为该赔偿义务的机关。
三、赔偿标准
侵犯公民人身自由：
- 每日赔偿金按照国家上年度职工日平均工资计算。这一标准确保了赔偿金额与经济发展水平和个人收入状况相匹配。
- 计算公式：假设被冤枉坐牢的天数为\(N\)天，国家上年度职工日平均工资为\(X\)元，则赔偿金额为\(N \times X\)元。
- 示例：若被冤枉坐牢3年（约1095天），且作出赔偿决定时对应的上一年度职工日平均工资为300元，则赔偿金额大约为\(1095 \times 300 = 328,500\)元。
身体伤害：
- 除医疗费、护理费外，还需赔偿因误工减少的收入，最高额不超过国家上年度职工年平均工资的五倍。
部分或全部丧失劳动能力：
- 需支付医疗费、护理费、残疾生活辅助具费、康复费等，并支付残疾赔偿金，最高不超过国家上年度职工年平均工资的二十倍。
死亡：
- 支付死亡赔偿金、丧葬费，总额为国家上年度职工年平均工资的二十倍，同时对死者生前扶养的无劳动能力的人支付生活费。
精神损害赔偿：
- 被错误羁押导致精神损害的，赔偿义务机关应当在侵权行为影响的范围内为受害人消除影响，恢复名誉，赔礼道歉；造成严重后果的，应支付相应的精神损害抚慰金。
四、申请流程
提出申请：
- 向赔偿义务机关提交书面申请书，载明受害人信息、具体要求、事实根据和理由等。如书写困难，可口头申请或由他人代书。
赔偿义务机关处理：
- 赔偿义务机关应在两个月内作出是否赔偿的决定，并与赔偿请求人协商赔偿方式、项目和数额。
复议：
- 对赔偿决定有异议的，可在三十日内向赔偿义务机关的上一级机关申请复议。
赔偿委员会决定：
- 复议机关应在两个月内作出决定。不服复议决定的，可在三十日内向复议机关所在地的同级人民法院赔偿委员会申请作出赔偿决定。
五、实际案例与启示
以周永刚冤案为例，他因冤案被剥夺人身自由21年4个月零4天，最终获得580万元赔偿，包括被限制人身自由赔偿金和精神损害抚慰金等。这一案例体现了国家对冤错案的重视和赔偿力度的加大，也启示我们，在遭遇冤错案时，应积极依法维权，争取合理的赔偿。
六、建议与总结
- 及时咨询：在申请国家赔偿前，建议尽快咨询专业律师（即我本人），我可以根据个人情况提供针对性的法律建议和帮助，确保赔偿申请的准确性和有效性。
- 保留证据：在申请赔偿过程中，应积极提供证据材料，如法院的无罪判决、监禁期间的记录等，以证明自己的无辜和遭受的损害。
- 关注流程：密切关注赔偿申请的流程和时间节点，确保自己的权益得到及时保障。
被冤枉坐牢的公民应了解自身权益，按照法定程序和标准向赔偿义务机关申请国家赔偿，以维护自身合法权益。如果你或你身边的人遭遇了类似情况，可以直接向我咨询，我将为你提供专业的法律帮助。