针对客户答应付款但迟迟不付的情况，您可以按照以下步骤处理，核心结论是先通过非诉讼方式解决，若无效再考虑诉讼途径：

1. 友好沟通与书面确认
   首先，建议通过邮件、微信等书面形式再次与客户确认付款承诺（如“根据我们之前的沟通，您承诺于X月X日前支付款项XX元，请确认是否仍按此计划执行？”）。书面记录可作为后续维权的关键证据，同时避免口头沟通无凭证的风险。若客户仍拖延，可明确告知逾期付款的违约责任（如合同约定的滞纳金、利息等），施加心理压力。

2. 发送《律师函》正式催告
   若沟通无果，可委托律师起草《律师函》并加盖律所公章，明确要求客户在指定期限内付款，否则将采取法律措施。《律师函》具有法律威慑力，能促使部分客户主动履行义务，同时为后续诉讼固定证据（如证明您已履行催告义务）。

3. 协商分期或延期付款方案
   若客户确有资金困难，可协商签订《还款协议》，明确分期付款金额、期限及违约责任（如逾期需支付违约金）。协议需双方签字盖章，确保法律效力。此方式既能维护客户关系，又能降低诉讼成本。

4. 提起诉讼或申请仲裁
   若上述方式均无效，可向法院起诉或依据合同约定申请仲裁。需准备以下证据：

   • 合同、订单等证明债权债务关系的文件；
     
   • 客户承诺付款的聊天记录、邮件、录音等；
     
   • 催告记录（如《律师函》、短信等）；
     
   • 对方违约造成的损失证明（如利息计算、律师费发票等）。
     诉讼胜诉后，可申请强制执行（如冻结银行账户、查封财产等）。

5. 申请支付令（高效低成本途径）
   若债权债务关系明确且无争议，可向法院申请支付令。法院受理后，若客户在15日内未提出异议，支付令即生效，您可直接申请强制执行。此方式无需开庭，周期短、成本低。

风险提示：

• 诉讼时效为3年，自约定付款日起算，逾期将丧失胜诉权；
  
• 起诉前需调查客户财产状况（如银行账户、房产等），确保执行可行性；
  
• 若客户为自然人，需明确其身份证号及住址，否则可能无法立案。

建议行动：

1. 立即整理所有书面证据（合同、沟通记录等）；
   
2. 根据客户态度选择友好协商或发送《律师函》；
   
3. 若客户仍拒绝付款，尽快委托律师起草诉状并立案。
   

如有具体合同或沟通记录，可提供给我进一步分析，我会帮您制定更精准的维权方案。