便利店销售假烟将面临行政处罚，情节严重的可能构成刑事犯罪，同时需承担民事赔偿责任。具体分析如下：

1. 行政处罚
   根据《中华人民共和国烟草专卖法》第三十三条及《中华人民共和国烟草专卖法实施条例》第五十八条，便利店销售假烟的，由烟草专卖行政主管部门责令停止销售，没收违法所得，并处以违法销售总额20%以上50%以下的罚款，同时将非法销售的烟草专卖品公开销毁。若违法经营额超过5万元或违法所得超过2万元，或曾因非法经营烟草专卖品受过两次以上行政处罚又违法经营的，可能面临更严厉的处罚，包括责令停业整顿直至吊销烟草专卖零售许可证。

2. 刑事犯罪（情节严重时）
   若便利店销售假烟的行为达到《中华人民共和国刑法》第一百四十条规定的“销售伪劣产品罪”标准（如销售金额达5万元以上，或货值金额达15万元以上），将面临二年以下有期徒刑或者拘役，并处或者单处销售金额50%以上二倍以下罚金；若销售金额达200万元以上，最高可处十五年有期徒刑或者无期徒刑，并处销售金额50%以上二倍以下罚金或者没收财产。

3. 民事赔偿责任
   若消费者因购买假烟遭受人身或财产损害（如因假烟质量问题导致健康受损），便利店需根据《中华人民共和国消费者权益保护法》第五十五条承担民事赔偿责任，包括退还货款、赔偿损失，并可能需支付价款三倍或损失二倍的惩罚性赔偿金。

建议：便利店应严格审核进货渠道，确保所售烟草制品为正规渠道合法产品，并保留完整的进货凭证。若发现已购入假烟，应立即停止销售并主动向烟草专卖行政主管部门报告，配合调查处理，以减轻法律责任。如有进一步疑问，可直接向我咨询。