在公司楼梯上摔下来是否算工伤，需根据具体情况综合判断，主要取决于事故发生的时间、地点、原因以及是否存在相关证据支持。以下是对此问题的详细分析：
属于工伤的情形
工作时间和工作场所内，因工作原因摔倒：
- 如果您在工作时间内，为了完成工作任务（如送文件、汇报工作等）而在公司楼梯间上下楼时摔倒，这种情形符合《工伤保险条例》第十四条第一项规定，应认定为工伤。例如，您因紧急需要送一份重要文件到楼上部门，在楼梯上不慎摔倒受伤。
工作时间前后在工作场所内，从事与工作有关的预备性或者收尾性工作摔倒：
- 若您在正式工作前或下班后，在公司楼梯间进行与工作相关的预备性或收尾性工作（如领取工具、清理垃圾等）时摔倒，也符合工伤认定条件，依据是《工伤保险条例》第十四条第二项。比如，您下班后负责关闭办公室门窗，在楼梯间不慎摔倒。
因履行工作职责受到暴力等意外伤害摔倒：
- 若您在公司楼梯间因履行工作职责而遭到他人暴力对待导致摔倒受伤，根据《工伤保险条例》第十四条第三项，同样应认定为工伤。例如，您作为保安在楼梯间制止闹事者时被推搡摔倒。
公司楼梯存在安全隐患导致摔倒：
- 如果公司楼梯存在安全隐患，如灯光昏暗、台阶损坏、未设置警示标识等，且这些隐患直接导致了您的摔伤，那么公司可能因其未尽到安全保障义务而承担一定责任，这种情况下摔伤有可能被认定为工伤。
不属于工伤的情形
非工作时间且与工作无关：
- 如果您在非工作时间（如午休时间、加班结束后）因个人原因（如嬉戏打闹、看手机分心）在楼梯间摔倒，由于并非在工作时间且摔倒原因与工作无关，一般不能认定为工伤。
故意或重大过失行为：
- 若您因自身疏忽大意（如奔跑、未注意台阶）导致摔倒，且被认定为存在故意或重大过失，可能无法认定为工伤。但“故意或重大过失”的认定较为严格，需综合多方面因素判断。
醉酒或者吸毒后摔倒：
- 如果您在工作期间饮酒或吸毒导致意识不清摔倒受伤，根据《工伤保险条例》第十六条，这种情形不得认定为工伤。
自残或者自杀：
- 如果有证据表明您在公司楼梯间是故意自残或自杀导致摔倒受伤，同样不能认定为工伤，依据是《工伤保险条例》第十六条。
工伤认定申请流程
若您认为自己符合工伤认定条件，用人单位应在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。若用人单位未按规定提出申请，您或您的近亲属、工会组织可在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起1年内直接提出工伤认定申请。
总结与建议
在公司楼梯上摔下来是否算工伤，需根据具体情况和证据来判断。建议您在发生此类事故后，及时收集相关证据（如目击者证言、监控视频、医疗诊断证明等），并尽快向用人单位报告，以便及时启动工伤认定申请流程。同时，用人单位也应积极履行工伤认定申请的义务，确保您的合法权益不受损害。如果您在工伤认定过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。