工程延期时，监理费是否增加需视具体情况而定，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：
一、合同约定角度
合同中有明确约定：
- 如果建设工程监理合同中明确规定了工程延期时监理费的调整方式，比如按照延期天数按日加收一定比例的监理费，或者约定了延期超过一定期限后监理费的具体增加数额，那么应当按照合同约定执行。这种情况下，监理费的增加是合同双方事先约定的结果，具有明确的法律依据。
合同中无明确约定：
- 如果合同中没有对工程延期时监理费的调整作出明确约定，那么就需要根据合同的其他条款以及相关法律法规进行推断和协商。在这种情况下，监理费的增加并非必然，而是需要双方根据实际情况进行协商确定。
二、法律法规角度
- 在没有合同明确约定的情况下，可以参考《中华人民共和国民法典》中关于合同履行和变更的相关规定。如果工程延期是由于发包人的原因导致的，比如设计变更、资金不到位等，那么监理人有权要求发包人承担因此增加的监理费用。这是因为发包人的行为构成了违约，应当承担违约责任。
- 如果工程延期是由于不可抗力或者其他非发包人、监理人原因导致的，那么监理费的增加就需要双方根据公平原则进行协商。在这种情况下，监理人可能无法直接要求发包人增加监理费，但可以通过协商达成一个合理的补偿方案。
三、实际操作角度
- 在实际操作中，工程延期时监理费的增加往往涉及到复杂的利益关系和合同条款的解释。因此，建议双方在签订合同时就尽可能明确工程延期时监理费的调整方式，以避免后续产生纠纷。
- 如果已经发生了工程延期，并且双方对监理费的增加存在争议，那么可以通过协商、调解或者诉讼等方式解决。在协商和调解过程中，双方可以充分表达自己的意见和诉求，寻求一个双方都能接受的解决方案。如果协商和调解无果，那么可以通过诉讼的方式由法院进行裁决。
举例说明：
假设某建设工程监理合同中约定，如果工程延期超过30天，发包人需要按照延期天数按日加收监理费总额的0.1%作为额外费用。那么，如果工程实际延期了60天，发包人就需要额外支付监理费总额的6%作为延期费用。
法律建议：
- 在签订建设工程监理合同时，务必明确工程延期时监理费的调整方式，以避免后续产生纠纷。
- 如果工程已经延期，并且双方对监理费的增加存在争议，建议及时咨询专业律师，了解自己的权利和义务，以及可能的解决方案。
可能后果：
- 如果合同中有明确约定且发包人拒绝支付增加的监理费，监理人可以通过法律途径追究发包人的违约责任。
- 如果合同中没有明确约定且双方无法协商达成一致，那么可能需要通过诉讼或者仲裁等方式解决纠纷，这可能会耗费双方大量的时间和精力。
综上所述，工程延期时监理费是否增加需根据合同约定、法律法规以及实际操作情况综合判断。如有具体疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。