行政机关在行政诉讼中作为被告且败诉时，是有权依法提起上诉的。以下是对此问题的详细分析：
一、上诉权利的法律基础
根据《中华人民共和国行政诉讼法》第八十五条的规定，当事人不服人民法院第一审判决的，有权在判决书送达之日起十五日内向上一级人民法院提起上诉。这里的“当事人”明确包括了行政机关，因此行政机关在认为一审判决存在错误或不公正时，有权通过上诉程序寻求上级法院的再次审查和公正裁决。
二、上诉的条件与程序
上诉条件：
- 行政机关必须是一审中的被告，且对一审判决不服。
- 上诉必须针对尚未发生法律效力的第一审判决或裁定。
- 上诉必须在法定期限内提出，即对判决不服的，应在判决书送达之日起十五日内提起上诉；对裁定不服的，应在裁定书送达之日起十日内提起上诉。
上诉程序：
- 行政机关需通过原审人民法院提交上诉状，或直接向第二审人民法院提起上诉。
- 上诉状应明确上诉请求、上诉理由及相关证据，并按照规定缴纳上诉费用。
- 上一级人民法院在收到上诉状后，将对案件进行全面审查，包括事实认定、法律适用以及程序是否合法等方面。
三、上诉的审查与裁决
- 全面审查：上一级人民法院在审理上诉案件时，将对案件进行全面审查，不受上诉请求范围的限制。
- 裁判结果：经过审理，第二审人民法院将根据具体情况作出相应的裁判，包括维持原判、改判或发回重审等。这些裁决均基于法律的严格规定和案件的实际情况。
四、注意事项
- 期限与方式：行政机关在行使上诉权利时，应严格遵守法律规定的期限和方式要求，以确保上诉的合法性和有效性。
- 滥用诉权规制：虽然行政机关享有上诉权，但无正当理由反复上诉可能影响司法效率。法院可依据《行政诉讼法》的相关规定，对滥用诉权的行为采取训诫等措施。
五、实例说明
假设某行政机关因一项行政处罚决定被公民提起行政诉讼，一审法院判决行政机关败诉。行政机关认为一审判决存在事实认定错误或法律适用不当等问题，可以在法定期限内向上一级人民法院提起上诉。上一级人民法院将全面审查案件事实与法律适用，并作出相应的裁判。
总结来说，行政机关在行政诉讼中作为被告且败诉时，是有权依法提起上诉的。这是行政机关维护自身合法权益、纠正一审判决错误或不合理之处的重要途径。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。