结论：卖淫被拘留24小时是否会留下案底，主要取决于拘留的性质及后续处理方式。一般而言，单纯的行政拘留不会留下犯罪记录意义上的“案底”，但会留下违法处理记录。

详细分析：

1. 行政拘留与案底的区别：

   • 行政拘留：卖淫行为违反了《中华人民共和国治安管理处罚法》，通常会面临行政拘留的处罚。行政拘留是一种对违法行为的行政处罚措施，不属于刑事处罚，因此不会留下刑事犯罪记录，即我们通常所说的“案底”。
   • 案底定义：案底在法律上通常指的是某人过去犯罪行为的记录，即经法院判决有罪的情况。这种记录一般存放于公安部门，并作为刑事犯罪前科的档案记录。

2. 违法处理记录的影响：

   • 虽然行政拘留不会留下案底，但相关记录仍会保存在公安机关的内部系统中。这些记录在特定情形下，如开具无犯罪记录证明、入伍政审、特殊岗位的入职背景调查以及报考公务员等，可能会被显示出来，并对个人产生一定影响。

3. 刑事犯罪与案底的形成：

   • 如果卖淫行为引发了其他犯罪，如传播性病罪（明知自己患有梅毒、淋病等严重性病而进行卖淫），则属于刑事犯罪范畴。一旦被法院判定有罪，就会留下犯罪记录，即案底。该犯罪记录会伴随终身，并对个人的就业、生活等诸多方面产生深远影响。

4. 特殊情况下的处理：

   • 在某些情况下，如卖淫行为情节特别轻微，或者存在其他法定从轻、减轻处罚的情形，公安机关可能会决定不给予行政拘留处罚，而是采取其他处罚措施，如罚款、警告等。这种情况下，自然也不会留下违法处理记录。

建议与总结：

• 遵守法律法规：无论是否会留下案底或违法处理记录，卖淫行为都是违法的，且严重违背社会道德规范。因此，我强烈建议公众遵守法律法规，远离任何非法活动。
• 了解法律后果：在做出任何行为之前，了解其可能的法律后果是非常重要的。这有助于你做出更明智的决策，避免不必要的法律风险。
• 寻求法律帮助：如果你或你身边的人涉及卖淫等违法行为，并因此面临法律困境，建议及时寻求专业律师的帮助。作为李华金律师，我专注于刑事辩护等领域，可以为你提供专业的法律咨询和辩护服务。

总之，卖淫被拘留24小时是否会留下案底取决于多种因素。但无论如何，遵守法律法规都是每个公民应尽的义务。如果你有任何法律问题或疑虑，欢迎直接向我咨询。