结论：信用卡欠款4000元，存在被银行起诉的可能性，但具体是否会被起诉执行，需结合多种因素综合判断。以下从不同角度为你详细分析：
一、民事诉讼角度
起诉条件：
- 银行在信用卡欠款逾期后，通常会先进行内部催收，若催收无果，且逾期时间较长（一般超过3个月），银行可能会考虑通过法律途径追讨欠款，即向法院提起民事诉讼。
- 欠款金额虽为4000元，但并非决定银行是否起诉的唯一因素。银行还会考虑持卡人的还款态度、逾期时间、是否有恶意透支行为等。
诉讼后果：
- 若银行提起诉讼且法院受理，持卡人将收到传票，需按时出庭应诉。
- 审理过程中，若持卡人败诉，法院将判决其在规定期限内偿还欠款本金4000元，并支付逾期利息和违约金（根据信用卡领用合约的约定计算）。
- 若持卡人未在规定期限内履行还款义务，银行可申请强制执行。法院有权采取查询、冻结、划拨银行存款，查封、扣押、拍卖财产等多种措施。
- 持卡人还可能被列入失信被执行人名单，导致日常生活受限，如限制高消费、不能乘坐飞机高铁等。
计算公式（若涉及利息和违约金）：
- 逾期利息：通常按日利率计算，具体利率根据信用卡领用合约确定。假设日利率为万分之五，则逾期利息 = 欠款本金 × 日利率 × 逾期天数。
- 违约金：根据信用卡领用合约的约定，一般为最低还款额未还部分的5%。具体计算公式需参考合约条款。
二、刑事诉讼角度（虽可能性较小，但仍需注意）
构成信用卡诈骗罪的风险：
- 信用卡诈骗罪通常涉及恶意透支行为，即持卡人以非法占有为目的，超过规定限额或期限透支，且经两次有效催收后超过三个月仍不归还。
- 欠款金额4000元通常未达到信用卡诈骗罪的立案标准（一般要求恶意透支数额在5万元以上），但在特定情况下，如持卡人存在多次恶意透支、逃避催收等行为，仍可能引发刑事风险。
刑事诉讼后果：
- 若被认定构成信用卡诈骗罪，持卡人将面临刑罚和罚金等附加刑。尽管因欠款金额较小，量刑可能会相对较轻，但仍会对个人生活造成严重影响。
三、建议与措施
积极沟通：
- 建议你尽快与银行联系，说明欠款原因和还款计划，争取与银行达成和解或分期还款协议。
- 展示还款意愿和实际行动，有助于降低被起诉的风险。
准备应诉材料：
- 若已收到法院传票，需积极准备应诉材料，包括相关证据和反驳意见。
- 可以寻求法律帮助，了解具体法律程序和应对策略。
关注信用记录：
- 信用卡欠款和诉讼记录将对个人信用造成负面影响，影响未来贷款、信用卡申请等信用相关业务。
- 建议你及时关注个人信用记录的变化，并采取措施修复受损信用。
总结：信用卡欠款4000元存在被银行起诉的可能性，但具体是否会被起诉执行需结合多种因素综合判断。建议你积极与银行沟通、准备应诉材料并关注个人信用记录。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。