结论：欠同一家银行的信用卡，储蓄卡是否会被直接挂扣，主要取决于是否签署了自动还款协议、银行是否行使抵销权或是否进入司法程序。以下是对各种情况的详细分析：
一、已签署自动还款协议
情况说明：
- 如果持卡人在办理信用卡时与银行签署了自动还款协议，并绑定了同银行的储蓄卡作为还款账户，那么在信用卡到期还款日，银行有权按照协议约定自动从储蓄卡中扣除相应款项用于偿还信用卡欠款。
法律依据与合理性：
- 这种扣款行为是基于双方自愿达成的协议，确保信用卡按时还款，是合法合规的操作。
二、未签署自动还款协议，但银行行使抵销权
情况说明：
- 银行在合同中通常会保留“行使抵销权”的条款，即当持卡人欠款时，银行有权从其在该行的其他账户（包括储蓄卡）中扣款以抵偿欠款。但银行在行使这一权利前，应当通知持卡人，并确保扣款金额准确无误。
法律依据与合理性：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，当事人互负债务，该债务的标的物种类、品质相同的，任何一方可以将自己的债务与对方的到期债务抵销。因此，银行在符合法定条件的情况下，可以行使抵销权。
持卡人权益保护：
- 如果银行未履行通知义务或扣款金额有误，持卡人可以提出异议，甚至向法院起诉维护自己的权益。
三、未签署自动还款协议，且进入司法程序
情况说明：
- 当持卡人信用卡欠款长时间逾期不还，且银行多次催收无果后，银行可能会选择通过法律途径追讨欠款。若法院最终判决银行胜诉，并且持卡人在规定时间内仍未履行还款义务，银行可以向法院申请强制执行。在强制执行阶段，法院有权冻结并划扣持卡人同银行储蓄卡内的资金，以偿还信用卡欠款。
法律依据与合理性：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，被执行人未按执行通知履行法律文书确定的义务，人民法院有权向有关单位查询被执行人的存款、债券、股票、基金份额等财产情况，并根据不同情形扣押、冻结、划拨、变价被执行人的财产。
四、未签署自动还款协议，也未进入司法程序，且银行未行使抵销权
情况说明：
- 在这种情况下，银行没有得到持卡人的授权，也没有司法机关的执行依据，因此一般不会擅自从持卡人的储蓄卡中扣款。
法律依据与合理性：
- 信用卡和储蓄卡是两个独立的账户，银行对客户的储蓄存款负有保密和保管义务，随意扣划可能构成侵权。
建议与提醒
- 持卡人应密切关注自己的信用卡还款情况，确保按时足额还款，以避免因逾期而产生的额外费用和法律风险。
- 如遇还款困难，建议及时与银行沟通，寻求分期还款或其他解决方案，以减轻经济压力并维护良好的信用记录。
- 在签署任何与银行相关的协议时，务必仔细阅读条款内容，特别是关于自动还款、抵销权、违约责任等方面的约定，以确保自身权益不受损害。
- 如遇银行擅自扣款或扣款金额有误的情况，持卡人应及时与银行沟通并提出异议，必要时可寻求法律援助或向法院起诉维护自己的合法权益。
综上所述，欠同一家银行的信用卡，储蓄卡是否会被直接挂扣取决于多种因素。持卡人应充分了解相关法律规定和银行政策，以确保自身财产安全并维护良好的信用状况。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。