结论前置：兼职没签合同能否申请劳动仲裁，主要取决于兼职关系的性质及是否有足够证据证明相关事实。若兼职构成劳动关系且存在事实上的用工关系，即便没有签订书面劳动合同，也可以申请劳动仲裁；若兼职属于劳务关系或非全日制用工且未出现法定劳动争议事项，则不能因未签合同申请劳动仲裁。

一、劳动关系与劳务关系的界定及劳动仲裁的适用性

1. 劳动关系：

   • 如果兼职者与用人单位之间形成的是劳动关系，即劳动者提供了劳动，用人单位支付了报酬，并存在管理与被管理的关系，那么即使双方没有签订书面劳动合同，只要能证明存在事实劳动关系（如工作证、考勤记录、工资支付凭证、同事的证人证言等），劳动者就可以就劳动报酬、工作时间、休息休假等相关劳动争议事项申请仲裁。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。未签订书面劳动合同的，不影响劳动关系的成立，劳动者仍可依法维护自己的权益。

2. 劳务关系：

   • 当兼职属于劳务关系时，双方的权利义务通常依据双方的口头或书面约定来确定，不受《劳动合同法》调整。在劳务关系中，虽然不能适用劳动仲裁程序，但可以通过民事诉讼来解决双方的纠纷。
   • 举例说明：如某大学生利用课余时间在一家餐厅做兼职服务员，与餐厅之间约定了工作时间和报酬，但未签订书面合同。这种情况下，大学生与餐厅之间更可能构成劳务关系，而非劳动关系。若发生纠纷，大学生应通过民事诉讼途径解决。

3. 非全日制用工关系：

   • 这是一种特殊的劳动关系，双方当事人可以订立口头协议，不签订书面劳动合同也是合法的。在非全日制用工中，一般不能以未签劳动合同为由申请劳动仲裁要求赔偿等。但如果存在拖欠工资、劳动报酬低于当地最低小时工资标准等劳动争议事项，仍然可以申请劳动仲裁。
   • 举例说明：如某退休人员被一家公司聘请为非全日制员工，负责公司的清洁工作，双方口头约定了工作时间和报酬。这种情况下，即使未签订书面合同，退休人员与公司之间仍构成非全日制用工关系。若公司拖欠工资或支付报酬低于最低小时工资标准，退休人员可以申请劳动仲裁。

二、劳动仲裁的注意事项

• 时效问题：劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，劳动者需要在规定时效内提出仲裁申请。

• 证据准备：劳动者需要准备好充分的证据材料来证明存在兼职事实以及双方的权利义务关系，如工作证、考勤记录、工资发放凭证等。这些证据对于仲裁的成功至关重要。

三、建议与总结

建议兼职人员在工作前尽量与用人单位明确工作性质和权利义务，并留存相关工作证据。若发生纠纷，先确定自身与用人单位的关系性质，再选择合适的维权途径。无论是劳动关系还是劳务关系，劳动者都应了解自己的权益和义务，并在必要时寻求法律帮助以维护自己的合法权益。

若您有具体的兼职纠纷问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律建议。