结论：无论欠款金额是否不到1万元，只要存在合法的债权债务关系且债务人未按时履行还款义务，债权人均有权向法院提起诉讼。不过，债权人是否选择起诉，会受到多种因素的影响。
详细分析：
法律角度：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，只要符合起诉条件，法院就会受理案件。这些条件包括：原告是与本案有直接利害关系的公民、法人或其他组织；有明确的被告；有具体的诉讼请求和事实、理由；以及案件属于人民法院受理民事诉讼的范围和受诉人民法院管辖。
- 因此，从法律层面讲，欠款金额的大小并不是决定是否会被起诉的关键因素。只要债权债务关系明确且合法，债权人在认为通过协商等方式无法收回欠款时，就可以选择通过法律手段来维护自己的权益。
实际操作角度：
- 在实际操作中，债权人是否会选择起诉，往往会综合考虑多方面因素。一方面，诉讼需要投入时间、精力及一定的成本（如诉讼费、律师费等）。对于小额欠款，部分债权人可能会因成本考虑而选择通过协商、调解或发送催款通知等非诉讼方式追讨债务。
- 另一方面，如果债权人认为非诉讼途径无法有效收回欠款，或者认为有必要通过法律手段来维护自身权益和尊严，即使欠款金额不到一万，也可能果断向法院提起诉讼。
法律后果角度：
- 一旦债权人起诉，而欠款人经法院传票传唤无正当理由拒不到庭参加诉讼，法院将依法缺席判决。若欠款人败诉后仍不履行还款义务，债权人可以申请强制执行。
- 欠款人因此可能会面临一系列不利后果，如被列入失信被执行人名单、限制高消费等。这些后果不仅会影响欠款人的日常生活和信用记录，还可能对其未来的经济活动产生负面影响。
建议与提醒：
- 对于债务人：无论欠款金额大小，都应认真对待债务问题，并尽快与债权人沟通寻求解决方案。逃避债务并非明智之举，反而可能使问题变得更加复杂和棘手。如果双方无法达成一致，应做好应对可能发生的法律诉讼的准备。
- 对于债权人：在决定是否起诉前，应理性评估诉讼成本和收益，并考虑非诉讼解决途径的可行性。如果决定起诉，应充分收集相关证据以支持自己的诉讼主张。
额外信息：
- 对于标的额低于当地上年度就业人员年平均工资百分之五十的简单金钱给付民事案件，法院可适用小额诉讼程序审理，实行一审终审。这意味着对于小额欠款纠纷（如低于一万元的欠款），如果符合条件，可以通过小额诉讼程序快速解决，从而提高诉讼效率并降低诉讼成本。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。