结论：在您描述的情况下，您通常不需要对别人捡食被老鼠吃过的东西而承担责任。不过，具体是否需要承担责任，还需根据实际情况来详细分析。
分析说明：
责任构成要件：
- 在侵权责任法中，一般要求行为人存在过错（故意或过失），且该过错行为与损害结果之间存在因果关系，行为人才需要承担责任。
- 在您描述的情况中，您将老鼠吃过的东西丢弃，这一行为本身并不构成对他人健康的直接威胁或侵害，因为您并没有主动将这些东西提供给他人食用。
捡食者的自主行为：
- 别人捡食被老鼠吃过的东西，是一个自主的行为选择。捡食者应当自行判断食物的安全性，并承担由此可能带来的风险。
- 除非您故意误导或隐瞒食物的真实情况，导致捡食者基于错误的认识而食用，否则您不应因捡食者的自主行为而承担责任。
特殊情况考虑：
- 如果您知道食物被老鼠吃过且可能含有有害物质，但未采取合理措施（如设置警示标志）防止他人捡食，且这种不作为与捡食者的损害结果之间存在因果关系，那么您可能需要承担一定的责任。但这种情况下的责任承担，需要具体证据支持，且相对复杂。
- 另外，如果捡食者是未成年人或无民事行为能力人，且您应当预见其可能捡食而未采取合理措施防止，那么您也可能需要承担一定的监护或管理责任。但这也需要根据具体情况来判断。
法律建议：
- 在日常生活中，为了保障公共卫生和他人健康，建议您在丢弃可能含有有害物质的食物时，采取合理措施（如密封包装、设置警示标志等）防止他人误食。
- 如果您担心可能因此产生法律纠纷，可以在丢弃食物时留下相关证据（如拍照、录像等），以证明您已经采取了合理措施。
- 如果您确实遇到了因他人捡食被老鼠吃过的东西而产生的纠纷，建议您及时咨询专业律师，以便根据具体情况制定合适的应对策略。
后续行动与风险提示：
- 如果您已经遇到了相关纠纷，且对方提出了索赔要求，请不要轻易承认责任或签署任何协议。建议您先咨询律师，了解自己的权利和义务，再根据律师的建议采取相应行动。
- 在未来，为了避免类似纠纷的发生，您可以更加注意公共卫生的维护，以及在处理可能含有有害物质的食物时采取更加谨慎的态度。