当拘留期满而案件尚未办结时，相关机关会依据法律规定采取一系列措施来确保案件的顺利处理，同时保障当事人的合法权益。以下是对此问题的详细解答：
一、处理原则
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，对于被采取强制措施法定期限届满的犯罪嫌疑人、被告人，相关机关（包括人民法院、人民检察院和公安机关）应当予以释放、解除取保候审、监视居住或者依法变更强制措施。这一原则确保了羁押不能无限期延长，必须在法定期限内对案件进行处理。
二、可能采取的措施
变更强制措施
取保候审：
- 适用情形：若犯罪嫌疑人、被告人可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑，或可能判处有期徒刑以上刑罚但采取取保候审不致发生社会危险性，以及羁押期限届满案件尚未办结的情形，均可申请取保候审。
- 执行方式：由犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或辩护人向办案机关提出申请，办案机关审查后认为符合条件的，会责令提出保证人或交纳保证金，并出具取保候审决定书，由公安机关执行。被取保候审人需遵守相关规定，如不得离开所居住的市、县，不得干扰证人作证等。
监视居住：
- 适用情形：符合逮捕条件但具有特殊情形（如患有严重疾病、生活不能自理；怀孕或正在哺乳婴儿；系生活不能自理者的唯一扶养人等），或羁押期限届满案件尚未办结需要继续监督的情形，可决定监视居住。
- 执行方式：办案机关作出决定后，一般由公安机关执行。犯罪嫌疑人、被告人需在指定居所或住处接受监视，未经批准不得离开。
依法释放：
- 对于超过羁押期限且不符合继续羁押或变更强制措施条件的犯罪嫌疑人、被告人，应当依法予以释放。释放并不意味着案件终结，若后续发现新证据或有其他法定情形，仍可依法再行处理。
延长羁押期限（特定情况下）：
- 在侦查阶段，若案情复杂，可经上一级检察院批准延长侦查羁押期限。对于边远地区重大复杂案件、犯罪集团案件、流窜作案及取证困难的重大案件，以及可能判处十年有期徒刑以上刑罚的案件，还可根据规定进一步延长羁押期限。但需注意，延长羁押期限需严格遵循法定程序和条件。
三、法律对超期羁押的制约和监督
内部监督机制：
- 公检法机关内部有严格的监督程序，上级机关会对下级机关的办案期限进行监督检查。一旦发现超期羁押问题，会责令及时纠正。
- 检察机关的驻看守所检察室会定期对羁押情况进行检查，发现超期羁押情况及时向办案机关提出纠正意见。
外部救济途径：
- 犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或辩护人对于超期羁押情况，有权向相关机关提出申诉、控告，要求依法纠正。
- 人民检察院依法对羁押期限和办案期限是否合法实行法律监督，并在羁押期限、办案期限即将届满前向办案部门进行期限届满提示。若发现超期，应提出纠正意见。
四、当事人的权利保障
犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或辩护人对于采取的强制措施法定期限届满的，有权要求解除强制措施。这是法律赋予当事人的重要权利，确保他们不会因案件未结而被无限期羁押。
总结：当拘留期满而案件尚未办结时，相关机关会严格依照法律规定进行处理，可能采取变更强制措施、依法释放或延长羁押期限（特定情况下）等措施。同时，通过内部监督和外部救济途径的双重制约，有效防止了超期羁押的发生，维护了法律的公正性和权威性。若您或您身边的人遇到此类情况，建议及时咨询专业律师或法律机构以获取更具体的法律建议或帮助。