在菜市场内公共场所机动车压到狗的责任划分，需根据具体情况来确定，以下是一些可能的情况及责任分析：
机动车驾驶员责任：
- 如果机动车驾驶员在行驶过程中存在违规行为，如超速、未注意观察路况、未按规定让行等，导致压到狗，那么驾驶员通常需要承担一定的责任。根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，驾驶员有义务在行驶过程中保持安全车速，注意观察周围环境，确保行车安全。
- 责任比例：具体责任比例需由公安机关交通管理部门根据双方过错对事故发生的作用大小来综合判定。如果驾驶员的违规行为是导致事故发生的主要原因，那么其可能需要承担主要责任。
狗主人责任：
- 如果狗主人未对狗进行妥善管理，如未拴绳、未看管好导致狗乱跑等，那么狗主人也可能需要承担一定的责任。因为狗主人有义务确保自己的宠物不会对他人或公共财产造成损害。
- 责任比例：同样，具体责任比例也需根据双方过错来判定。如果狗主人的管理不善是导致事故发生的重要原因，那么其可能需要承担相应责任。
市场管理方责任（如果适用）：
- 如果菜市场管理方在管理上存在疏忽，如未设置合理的交通标志、未维护好市场内的交通秩序等，导致机动车与狗发生碰撞，那么市场管理方也可能需要承担一定的管理责任。
- 责任比例：这通常取决于市场管理方的疏忽程度与事故发生之间的因果关系。如果市场管理方的疏忽是导致事故发生的间接原因，那么其可能需要承担部分责任。
处理流程与建议：
保护现场并报警：在事故发生后，应立即保护现场，并报警等待交警到来。这有助于确保事故现场的完整性，为后续的责任认定提供证据。
配合调查：如实陈述事故经过，提供必要的证据，如目击证人信息、现场照片等。这些证据将有助于交警更准确地认定事故责任。
责任认定与赔偿协商：根据交通事故责任认定书明确事故责任后，双方可协商赔偿事宜。如果协商不成，可请求公安机关交通管理部门调解或直接向人民法院提起民事诉讼。在赔偿协商过程中，应充分考虑双方的过错程度、损失情况等因素，以达成公平合理的赔偿协议。
特殊情况说明：
- 如果狗是流浪狗，没有主人，那么机动车驾驶员在承担责任时可能会相对较轻，因为不存在狗主人的管理责任。但驾驶员仍需根据自身的违规行为承担相应的责任。
- 如果事故发生在非公共场所，如私人庭院等，那么责任划分可能有所不同。因为非公共场所的交通规则和管理要求可能与公共场所存在差异。
总结与建议：
在菜市场内公共场所机动车压到狗的责任划分是一个复杂的问题，需要根据具体情况来确定。建议双方在事故发生后保持冷静，积极配合交警的调查工作，并根据责任认定书的结果进行赔偿协商。如果协商不成，可以寻求法律途径解决争议。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。