结论：五千多块钱的信用卡逾期，确实存在被银行起诉的可能性，但具体是否会被起诉，取决于多种因素，包括逾期时间、银行催收情况、持卡人态度等。
详细分析：
逾期时间与银行催收：
- 一般来说，信用卡逾期超过90天，且银行至少进行了两次有效催收后，持卡人依然没有还款意愿和行动，银行起诉的可能性就会显著增加。对于五千多元的欠款，虽然金额不算特别巨大，但如果逾期时间较长，且银行催收无果，银行仍有可能选择通过法律途径来追讨欠款。
持卡人态度：
- 持卡人在逾期期间的态度对银行是否起诉有重要影响。如果持卡人采取逃避态度，如拒接银行催收电话、更换联系方式且未通知银行等，银行会认为持卡人还款意愿极低，从而增加起诉的可能性。相反，如果持卡人积极与银行沟通，表明还款意愿，并尝试协商还款计划，银行可能会考虑给予一定的宽限期或减免部分费用。
恶意透支与法律责任：
- 如果持卡人存在恶意透支行为，即明知无法偿还仍大量透支，且经银行催收后仍不归还，银行有权以信用卡诈骗罪将持卡人告上法庭。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，恶意透支信用卡，数额较大的，可能面临五年以下有期徒刑或者拘役，并处二万元以上二十万元以下罚金。
银行成本与收益评估：
- 银行在决定是否起诉时，会综合考虑起诉成本与可能收回欠款之间的关系。对于五千多元的欠款，银行可能会权衡诉讼成本与回款收益，如果认为通过其他催收方式（如持续电话催收、委托第三方催收机构等）有较大可能收回欠款，就可能不会选择立即起诉。
信用卡逾期的其他后果：
- 逾期利息与滞纳金：信用卡逾期会产生逾期利息和滞纳金，这些费用会随着逾期时间的延长而不断增加，加重持卡人的经济负担。
- 个人征信记录受损：逾期记录将被上报至央行征信系统，影响持卡人的个人信用记录，对未来贷款、办卡等金融活动造成不利影响。
建议与对策：
- 尽快联系银行：无论是否面临起诉风险，持卡人都应尽快与银行联系，说明情况并协商还款计划。这有助于避免银行采取进一步的法律行动，并减轻持卡人的经济负担。
- 协商分期或延期还款：如果实在无法一次性还清欠款，可以与银行协商分期还款或延期还款等方式，以减轻经济压力和避免不必要的麻烦。
- 避免再次逾期：加强财务管理意识，确保按时还款，避免再次出现逾期情况。这有助于维护良好的个人信用记录，并减少未来贷款、办卡等金融活动的难度。
总之，五千多块钱的信用卡逾期虽然存在被起诉的风险，但持卡人可以通过积极与银行沟通、协商还款计划等方式来降低这种风险。同时，持卡人也应加强财务管理意识，避免再次出现逾期情况。如果有任何法律疑问或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。