结论：业主家厨房立管三通部分断掉的责任归属，需根据具体情况判断，可能是物业的责任，也可能是业主的责任，或者由其他相关方承担责任。以下从不同角度进行分析：
一、物业的责任
公共设施维护义务：
- 如果厨房立管三通部分属于小区的公共设施或共有部分，且该部分的损坏是由于物业未尽到维护、保养义务导致的，那么物业应当承担相应的责任。例如，物业长期未对管道进行检查、维修，导致管道老化、腐蚀，最终引发三通部分断掉。
管理疏忽：
- 如果物业在管理过程中存在疏忽，如未及时发现并处理管道存在的安全隐患，或者未按照相关规定对管道进行定期检查、维护，导致三通部分断掉，物业也应承担责任。
二、业主的责任
私有部分维护：
- 如果厨房立管三通部分属于业主专有部分，即该部分管道仅服务于该业主的厨房，且损坏是由于业主自身使用不当或未尽到维护义务导致的，那么业主应当自行承担责任。例如，业主在装修过程中不当改动管道，或者长期未对管道进行清洁、保养，导致管道堵塞、腐蚀，最终引发三通部分断掉。
第三方行为：
- 如果三通部分的损坏是由于业主或其家庭成员、访客等第三方的故意或过失行为导致的，如恶意破坏、不当使用等，那么业主也应承担相应的责任。不过，在这种情况下，如果业主能够证明是第三方行为导致的损坏，且已采取合理措施防止损失扩大，那么业主在承担责任后可以向第三方追偿。
三、其他相关方的责任
开发商责任：
- 如果厨房立管三通部分的损坏是由于房屋本身存在质量问题导致的，如管道设计不合理、施工质量不达标等，且该问题在房屋保修期内未得到解决，那么开发商应当承担相应的责任。不过，这种情况通常发生在房屋交付初期，且需要业主提供充分的证据证明是房屋质量问题导致的损坏。
第三方施工单位责任：
- 如果在房屋交付后，有第三方施工单位对小区或业主房屋进行了施工活动，且施工过程中未采取必要措施保护管道等设施，导致三通部分断掉，那么第三方施工单位应当承担相应的责任。
法律建议
收集证据：
- 在发生厨房立管三通部分断掉的情况后，业主应及时收集相关证据，如照片、视频、维修记录等，以证明损坏的原因和程度。
与物业沟通：
- 业主应首先与物业进行沟通，说明情况并要求物业进行维修或赔偿。如果物业拒绝承担责任或双方无法达成一致意见，业主可以考虑通过法律途径解决纠纷。
咨询专业律师：
- 在处理此类纠纷时，业主可以咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。律师可以根据具体情况分析责任归属，并帮助业主制定合理的维权策略。
后续行动建议：如果您遇到了厨房立管三通部分断掉的问题，且无法确定责任归属或无法与物业达成一致意见，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议和帮助。