您在执行公务时被路上倒下的大树砸伤，可依据不同情况通过工伤保险、侵权责任或特殊情形下的双重赔偿来获得理赔。具体分析如下：

1. 工伤保险赔偿
   若您属于公务员或参照公务员管理的事业单位工作人员，根据《公务员法》及地方性法规（如《工伤保险条例》的适用扩展），您因执行公务受伤通常被认定为工伤。此时，您可向单位申请工伤认定，享受工伤保险待遇，包括医疗费、停工留薪期工资、伤残补助金等。若单位未依法缴纳工伤保险，所有费用仍由单位承担。

2. 侵权责任赔偿
   若大树倒塌系因第三方（如绿化养护单位、市政管理部门）未尽管理职责导致，您可依据《民法典》第1253条（建筑物、构筑物倒塌、塌陷致害责任）向责任方主张侵权赔偿。需证明：

   • 责任方对大树负有管理义务（如签订养护合同）；
     
   • 倒塌与未尽管理职责存在因果关系（如未及时修剪、加固或排除隐患）；
     
   • 您无重大过错（如未故意攀爬或违反交通规则）。
     赔偿范围包括医疗费、护理费、误工费、残疾赔偿金等，与工伤保险待遇可并行主张（但医疗费等实际支出部分不可重复获赔）。

3. 特殊情形：双重赔偿的适用
   若您同时符合工伤和侵权赔偿条件，可依据《社会保险法》第42条及司法实践，主张“差额补偿”或“部分项目双重赔偿”。例如：

   • 工伤保险已覆盖的医疗费、护理费等，侵权方不再重复赔偿；
     
   • 伤残补助金、精神损害抚慰金等非医疗项目，可同时向工伤基金和侵权方主张。
     具体需结合地方司法解释（如《江苏省高级人民法院关于审理工伤保险行政案件若干问题的意见》第12条）确定。

行动建议：

1. 立即报警并保留现场照片、视频，固定大树倒塌事实及因果关系；
   
2. 向单位报告工伤，要求启动工伤认定程序；
   
3. 调查大树管理方（如通过城管部门或物业查询养护合同）；
   
4. 委托律师向责任方发送律师函，或直接向法院提起侵权诉讼；
   
5. 若涉及复杂责任划分（如多方管理混同），可申请法院委托鉴定机构评估管理瑕疵程度。
   

如有进一步细节（如大树倒塌原因、管理方身份等），可随时向我补充说明，以便更精准地分析赔偿路径。