在高速桥下盖羽毛球棚子是否违法，需根据具体情况判断，但通常情况下，未经许可擅自建设可能涉及违法。以下从不同角度进行分析：

1. 土地使用权与规划许可：

   • 高速桥下的土地通常属于国家所有，且其使用受到严格的规划和管理。任何建设活动，包括搭建羽毛球棚子，都需要获得相关土地管理部门和规划部门的许可。
   • 如果未经许可擅自建设，可能违反了《中华人民共和国土地管理法》和《中华人民共和国城乡规划法》的相关规定，面临被责令拆除、罚款等法律后果。

2. 桥梁安全与保护：

   • 高速桥作为重要的交通基础设施，其安全受到严格保护。在桥下搭建羽毛球棚子可能影响桥梁的结构安全、排水系统或通行空间，从而对桥梁的正常使用和安全构成威胁。
   • 根据《中华人民共和国公路法》和相关桥梁保护规定，任何可能影响桥梁安全的行为都可能被禁止或限制。

3. 行政许可与审批流程：

   • 即使建设羽毛球棚子的目的纯粹是为了体育活动，且不会对桥梁安全造成影响，也仍然需要按照相关法律法规的规定，向相关部门申请行政许可。
   • 审批流程可能包括提交建设方案、安全评估报告、土地使用证明等材料，并经过相关部门的现场勘查和审核。

4. 实际案例与执法实践：

   • 在实际执法中，对于未经许可擅自在高速桥下搭建建筑物的行为，相关部门通常会采取严厉的措施进行制止和处罚。
   • 即使搭建的建筑物看似无害，如羽毛球棚子，也可能因为违反了相关法律法规或规划要求而被要求拆除。

建议：

• 如果您有在高速桥下搭建羽毛球棚子的需求，建议首先咨询当地土地管理部门和规划部门，了解相关法律法规和规划要求。
• 在获得必要的行政许可和审批后，再按照规定的标准和要求进行建设。
• 如果未经许可擅自建设，可能面临法律后果，包括被责令拆除、罚款等。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律意见。