结论：精神病人住院期间因医护人员制止斗殴导致受伤，医院是否有责任需根据具体情况判断。若医院未尽到合理的安全保障义务、监督管理责任，则应承担相应责任；若医院已尽到合理义务，则可能减轻或免除责任。以下从多个角度进行详细分析：
一、医院的安全保障义务
法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，医院作为专门的医疗服务机构，对住院患者负有安全保障义务。这包括采取合理措施预防和制止可能对患者造成伤害的行为，如制定完善的安全管理制度、对医护人员进行培训和监督等。
责任分析：若医院未能履行这些义务，如未制定有效的安全管理制度、未对医护人员进行必要的培训或监督，导致患者在医护人员制止斗殴过程中受伤，医院就存在管理上的过错，应当承担相应的责任。
二、医院的监督管理责任
法律依据：医院有责任对其工作人员的行为进行监督和管理。这包括确保医护人员在工作期间遵守职业道德和法律法规，不实施任何可能对患者造成伤害的行为。
责任分析：如果医护人员在制止斗殴过程中使用了过度暴力或不当手段，导致患者受伤，且医院知道或应当知道该医护人员有暴力倾向或不良行为记录，但仍然让其从事与患者接触的工作，或未及时采取措施制止和处理，医院应对患者的损害承担赔偿责任。
三、特殊情况下的责任减轻或免除
医院已尽合理义务：如果医院能够证明其已经尽到了合理的注意义务，如制定了严格的管理制度、对医护人员进行了定期培训、在事件发生时及时采取了措施制止斗殴行为并对患者进行了救治等，那么医院可以减轻或免除责任。
患者自身因素：在确定医院责任时，也需考虑患者自身的因素。如果患者的行为存在一定的挑衅性或危险性，诱发医护人员实施了过度暴力或不当手段，虽然这并不意味着医院可以完全免除责任，但在责任划分上可能会有所影响。医院仍需对其医护人员的行为进行规范和管理。
四、法律建议与后续行动
收集证据：在处理此类事件时，应充分收集证据，包括医院的安全管理制度、医护人员的培训记录、事件发生时的监控录像、患者的医疗记录等，以全面评估各方责任。
协商与诉讼：如果医院拒绝承担责任或双方无法就赔偿事宜达成一致，患者或其家属可以考虑通过法律途径解决纠纷，如向法院提起诉讼或申请医疗事故鉴定等。
寻求专业帮助：由于医疗纠纷涉及复杂的法律问题和医学知识，建议患者在处理此类事件时寻求专业律师的帮助，以确保自身权益得到充分保障。
总结：精神病人住院期间因医护人员制止斗殴导致受伤，医院是否有责任需根据具体情况判断。在处理此类事件时，应充分考虑医院的义务、患者的权益以及证据的收集等因素。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。