劳务派遣纠纷的主管部门主要是人力资源和社会保障局（简称“人社局”）下的劳动监察部门或劳动争议仲裁委员会。以下是对这一问题的详细解答：

1. 劳动监察部门：

   • 职责：劳动监察部门负责监督用人单位遵守劳动法律法规的情况，包括劳务派遣单位的合规性。如果劳务派遣单位存在违法行为，如未按时支付工资、未缴纳社会保险等，劳动者可以向劳动监察部门投诉，劳动监察部门将依法进行调查处理。
   • 处理方式：劳动监察部门在接到投诉后，会进行调查核实，并根据情况对劳务派遣单位进行警告、罚款、责令改正等行政处罚。如果违法行为严重，还可能移送司法机关处理。

2. 劳动争议仲裁委员会：

   • 职责：劳动争议仲裁委员会负责处理劳动争议案件，包括劳务派遣纠纷。当劳动者与劳务派遣单位或用工单位之间发生劳动争议时，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
   • 处理方式：劳动争议仲裁委员会在受理仲裁申请后，会组织双方进行调解或开庭审理，并根据事实和法律规定作出裁决。裁决具有法律效力，双方必须履行。如果一方不履行裁决，另一方可以向人民法院申请强制执行。

额外建议：

• 保留证据：在发生劳务派遣纠纷时，劳动者应尽可能保留与纠纷相关的证据，如劳动合同、工资单、工作记录等，以便在投诉或仲裁时提供有力支持。
• 及时咨询：如果劳动者对劳务派遣纠纷的处理流程或法律规定有疑问，可以及时向当地的人社局或劳动争议仲裁委员会咨询，或者向我这样的专业律师咨询，以获取更准确的法律信息和建议。
• 注意时效：在申请劳动争议仲裁时，劳动者应注意仲裁时效的规定，通常是在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内提出仲裁申请，以免错过时效导致权益受损。

希望以上解答能对您有所帮助。如果您在劳务派遣纠纷方面还有其他问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。