结论：挂牌子在厂门口宣称“破坏家庭违法”这一行为，其合法性需结合具体情境和法律规定来综合判断，不能一概而论地说其违法或合法。以下从不同角度进行分析：

1. 言论自由与法律限制：

   • 在我国，公民享有言论自由的权利，这是宪法赋予的基本权利之一。然而，这种自由并非无限制的，它受到法律的约束，特别是当言论可能侵犯他人合法权益或社会公共利益时。
   • 如果牌子上的内容仅是对“破坏家庭”这一行为的道德谴责，并未直接指向特定个人或组织，且未造成不良影响，那么这种行为可能不构成违法。

2. 名誉权与隐私权保护：

   • 如果牌子上的内容直接指向了某个具体的人或组织，并声称其“破坏家庭”，这可能构成对他人名誉权的侵犯。名誉权是公民或法人保持并维护自己名誉的权利，任何捏造、散布虚假事实造成他人名誉损害的行为都可能受到法律的制裁。
   • 同时，如果牌子上的内容涉及了他人的隐私信息，如家庭住址、电话号码等，这也可能构成对他人隐私权的侵犯。

3. 公共场所与秩序维护：

   • 工厂门口作为公共场所的一部分，其秩序和安宁受到法律的保护。如果挂牌子行为导致了工厂门口的秩序混乱，或者对过往行人的正常通行造成了影响，那么这种行为可能违反了相关法律法规中关于维护公共场所秩序的规定。

4. 具体情境下的法律判断：

   • 在实际判断中，还需要考虑挂牌子行为的具体情境，如牌子的内容、悬挂的时间、地点、方式等。例如，如果牌子是在工厂内部悬挂，且内容仅针对工厂内部员工，那么其法律性质可能与在工厂门口悬挂有所不同。
   • 另外，如果挂牌子行为是出于某种合法目的，如为了提醒员工注意家庭和谐、防止家庭矛盾等，且未造成不良影响，那么这种行为可能更倾向于被视为合法。

建议：

• 在挂牌子之前，应仔细考虑牌子的内容是否可能侵犯他人的合法权益或社会公共利益。
• 如果牌子的内容涉及对特定个人或组织的指责或谴责，应确保这些内容有充分的事实依据，并避免使用过于激烈或侮辱性的语言。
• 考虑到工厂门口作为公共场所的特殊性，应尽量避免在此悬挂可能引起争议或混乱的牌子。

后续行动：

• 如果您对挂牌子行为的合法性存在疑问，或者因此行为引发了法律纠纷，建议及时咨询专业律师以获取具体的法律建议。
• 在处理此类问题时，应保持冷静和理性，避免采取过激或违法的行为来解决问题。

如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。