政审中证明外婆未婚收养妈妈这一事实，核心需提供的证据是收养关系证明，同时可能需补充外婆未婚状态证明，具体说明如下：

一、收养关系证明

这是证明外婆与妈妈之间存在合法收养关系的关键证据，有以下几种形式：

1. 收养登记证：如果外婆收养妈妈时办理了收养登记手续，那么收养登记证是最直接、最有力的证据。它是由民政部门依法颁发的，明确记载了收养人、被收养人的基本信息以及收养登记的时间等内容，能够直接证明外婆与妈妈之间的收养关系合法成立。
2. 公证文书：若收养行为经过了公证机构的公证，那么公证文书也可以作为证明收养关系的有效证据。公证文书具有较高的证明力，它是在公证员对收养事实进行审查、核实后出具的，能够确保收养行为的真实性和合法性。
3. 生效法律文书：如果因为收养关系产生过纠纷，并且经过法院审理作出了生效的判决、裁定等法律文书，这些法律文书也可以作为证明收养关系的证据。例如，法院确认收养关系有效的判决书，其中会详细阐述收养关系的事实和法律依据。
4. 其他能够证明收养关系的材料：
   • 证人证言：了解收养情况的亲属、邻居等可以作为证人，出具书面证言或者接受调查询问，证明外婆收养妈妈的事实。证人证言需要详细说明收养的时间、地点、方式等情况，并且证人应当具有完全民事行为能力，能够客观、真实地陈述事实。
   • 村委会或居委会证明：如果外婆和妈妈的户籍所在地或者长期居住地的村委会或居委会了解收养情况，可以出具证明材料，证明外婆收养妈妈的事实。村委会或居委会作为基层群众自治组织，对其辖区内居民的情况有一定的了解，其出具的证明具有一定的证明力。
   • 生活照片、信件等：一些能够反映外婆与妈妈共同生活、相互照顾的生活照片、信件等材料，也可以从侧面证明收养关系的存在。例如，照片中显示外婆与妈妈以母女身份共同参加家庭活动、节日庆祝等场景，信件中体现外婆对妈妈的关心和照顾等内容。

二、外婆未婚状态证明

在某些情况下，为了更全面地证明收养情况的合法性和真实性，可能还需要提供外婆未婚状态的证明，有以下几种方式：

1. 户籍证明：外婆的户口簿上如果记载了未婚状态，那么户口簿可以作为证明外婆未婚的初步证据。户口簿是由公安机关依法管理的户籍资料，具有较高的权威性和可信度。
2. 婚姻登记机关证明：外婆可以到当地的婚姻登记机关申请出具未婚证明。婚姻登记机关有记录公民婚姻状况的档案，可以根据档案情况为公民出具相应的证明材料。
3. 其他证明材料：如果外婆曾经有过婚姻登记记录，但后来离婚或者配偶死亡，那么需要提供离婚证、离婚判决书或者配偶的死亡证明等材料，以证明外婆在收养妈妈时处于未婚状态。