卖淫被抓后，公安机关在决定给予行政拘留处罚的情况下，通常会及时通知被处罚人的家属。这一做法主要基于以下几点法律和程序上的考虑：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第九十七条的规定，公安机关在决定给予行政拘留处罚后，应当及时通知被处罚人的家属。这一规定确保了被处罚人家属的知情权，是执法透明度和公正性的体现。

2. 通知时间与方式：

   • 通知时间：公安机关通常会在作出行政拘留决定后的24小时内通知家属。这一时间限制旨在确保家属能够尽快得知被处罚人的情况，减少不必要的担忧和焦虑。
   • 通知方式：通知方式灵活多样，可以是书面的，如邮寄或当面送达通知书；也可以是口头的，如通过电话、短信或其他能够确认家属知悉的有效方式。具体采用何种方式，会根据实际情况和家属的联系方式来确定。

3. 特殊情况下的处理：

   • 如果被处罚人拒不提供家属联系方式，或者存在其他无法通知的情形（如家属无法联系到、家属在国外等），公安机关可以在决定书中注明并免于直接通知家属。
   • 对于涉及危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪等可能妨碍侦查的情形，公安机关也可能会暂时不通知家属，但这并不改变一般情况下应通知家属的法律原则。

4. 通知内容：

   • 通知内容应包含被拘留人的基本情况（如姓名、性别、年龄等）、拘留的原因（即卖淫行为）、拘留的地点以及家属的探视权及探视时间、地点等相关安排。这些信息有助于家属全面了解被拘留人的现状，并作出相应的应对。

5. 家属的权益：

   • 知情权：家属在接到通知后，有权了解被拘留人的具体情况，包括拘留的原因、地点以及拘留期限等。公安机关应当提供必要的信息和帮助，确保家属的知情权得到保障。
   • 探视权：家属还有权探视被拘留人，以了解其近况并提供必要的支持和帮助。具体的探视时间和方式需遵守拘留所的相关规定，公安机关应给予必要的指导和协助。

建议与提醒：

• 卖淫行为是违法的，不仅会受到法律的制裁，还会对个人和家庭带来严重的不良影响。因此，建议公民自觉遵守法律法规，远离任何违法活动。
• 如果家属接到通知后，对拘留决定有异议或需要了解更多信息，可以及时向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见和帮助。

总之，卖淫被抓后通知家属是法律程序的重要组成部分，旨在保护家属的知情权和被处罚人的合法权益。家属在接到通知后，应积极配合公安机关的工作，并依法行使自己的知情权和探视权。