要证明爷爷和孙子之间的关系，可以通过以下几种方式来进行，这些方式都是基于权威机构或文件的证明，具有法律效力：

1. 利用户籍档案或信息：

   • 如果公安部人口信息系统或当地人口信息管理系统中已记载了相关的家庭成员信息，包括父亲、母亲以及孙子的信息，那么可以由受理业务的民警进行查询并出具证明。
   • 业务受理民警也可以通过翻阅或查询历史户籍档案来证明历史户成员关系，包括爷爷和孙子之间的关系。

2. 提供相关证照或文件：

   • 《出生医学证明》是证明孩子出生情况及父母信息的重要文件，如果其中包含了爷爷作为直系亲属的相关信息（虽然直接信息可能不多，但结合其他文件可辅助证明），或者通过父亲的信息间接证明与孙子的关系。
   • 如果存在收养情况，那么《收养登记证》或《事实收养公证书》也是证明亲属关系的重要文件。
   • 在某些特殊情况下，人民法院生效的判决书也可能包含亲属关系的证明。

3. 提供居民户口簿：

   • 居民户口簿是记录家庭成员关系的基本文件，如果户口簿中明确记载了爷爷和孙子的关系，那么这就是一个直接且有效的证明。

4. 公证机构出具的公证书：

   • 可以前往公证机构申请出具《亲属关系公证书》，这是由专业公证机构根据相关证据和法律规定出具的，具有极高的法律效力。

5. 亲子鉴定书：

   • 在某些情况下，如果其他证明方式不可行或存在争议，可以通过有资质的亲子鉴定机构进行亲子鉴定，并出具亲子鉴定书来证明爷爷和孙子之间的生物学关系。

6. 线上办理服务（如“吉事办”等）：

   • 一些地区提供了线上办理亲属关系证明的服务，如“吉事办”App。通过这类服务，可以在手机上便捷地申请并查看亲属关系证明，该证明同样具有法律效力，并可用于多种业务办理场景。

在选择证明方式时，建议根据具体情况和当地政策要求来选择最合适的方式。如果可能的话，最好咨询当地户籍管理部门或相关机构以获取更准确和详细的信息。