当分公司因欠债被起诉时，其负责人的法律责任并非直接且固定的，而是需要根据具体情况进行综合分析。以下是对此问题的详细解答：
一、分公司的法律地位与责任承担
分公司是总公司在其住所以外设立的分支机构，它并不具备独立的法人资格。这意味着，分公司不能独立地承担民事责任。在分公司欠债被起诉的情况下，其民事责任一般由总公司来承担，或者先以分公司所管理的财产来承担，如果这部分财产不足以清偿债务，那么不足部分将由总公司来承担。
二、诉讼主体
在分公司被起诉的诉讼中，诉讼主体通常是分公司和总公司，而不是分公司负责人个人。这是因为分公司作为总公司的分支机构，其法律行为后果应由总公司来承担。
三、负责人可能承担的责任
尽管分公司负责人通常不直接承担法律责任，但在某些特定情形下，他们可能需要承担民事责任、行政责任甚至刑事责任：
民事责任：
- 滥用职权或过错行为：如果分公司负责人在经营管理过程中滥用职权、违反法律法规或公司章程，给公司或债权人造成了损失，那么他们可能需要个人对因此造成的损失承担赔偿责任。
- 连带赔偿责任：在特定情况下，如分公司违法行为给第三方造成了损害，且负责人存在过错，那么他们可能与分公司共同承担连带赔偿责任。但需要注意的是，这种赔偿责任通常先以分公司的财产来承担，不足部分才可能涉及负责人个人的财产。
行政责任：
- 如果分公司存在税务违规、工商登记不实等违反行政管理法规的行为，那么其负责人可能会受到行政处罚，如罚款、警告、吊销执照等。
刑事责任：
- 如果分公司的经营活动涉及违法犯罪行为，如合同诈骗、偷税漏税等，且负责人对此负有直接责任或参与其中，那么他们可能面临刑事指控和相应的刑罚。
四、综合分析与建议
- 法律地位与责任关联：分公司的法律地位决定了其不能独立承担民事责任，但这并不影响在特定情形下对负责人个人责任的追究。
- 行为合法性与责任判定：负责人是否承担责任，关键在于其行为是否合法合规，是否存在过错，以及违法行为的性质和后果。
- 专业咨询建议：由于法律关系的复杂性，建议在具体案件中咨询专业律师，以获取准确的法律分析和建议。律师可以根据案件的具体情况，结合相关法律法规，为负责人提供针对性的法律意见和辩护策略。
综上所述，分公司欠债被起诉时，其负责人的法律责任并非一成不变，而是需要根据具体案件情况，结合分公司的法律地位、负责人的行为及违法行为的性质和后果等因素进行综合判断。