结论：合同期内请病假，一般情况下用人单位不可以随意辞退员工，但特定情况下用人单位有权解除劳动合同。以下从不同角度为你详细分析：
合法病假与医疗期保护
- 法律规定
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内，用人单位不得依照本法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。这意味着在医疗期内，除非有特殊法定情形（如严重违反单位规章制度等），否则用人单位不能随意辞退员工。
- 医疗期的具体时长根据员工实际参加工作年限和在本单位工作年限确定，范围从3个月到24个月不等。具体规定如下：
- 实际工作年限10年以下，本单位工作年限5年以下为3个月，5年以上为6个月。
- 实际工作年限10年以上，本单位工作年限5年以下为6个月，5年以上10年以下为9个月，10年以上15年以下为12个月，15年以上20年以下为18个月，20年以上为24个月。
- 举例说明
- 假设小李实际工作年限为8年，在本单位工作年限为4年，那么他的医疗期为3个月。在这3个月内，只要小李按照规定办理了病假手续，用人单位就不能以他请病假为由辞退他。
特殊情况下辞退的合法性
- 医疗期满无法胜任工作
- 若医疗期满后，劳动者不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，用人单位在提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同。在此情况下，用人单位需支付经济补偿。
- 经济补偿计算：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
- 举例：小张在本单位工作了5年，月工资为5000元。医疗期满后，他不能从事原工作，也不能从事用人单位另行安排的工作。用人单位在提前三十日书面通知小张后解除劳动合同，那么用人单位需要支付给小张的经济补偿为：\(5\times5000 = 25000\)元。
- 严重违反规章制度
- 如果员工在病假期间存在严重违反用人单位规章制度的行为，如给用人单位造成重大损害，用人单位有权解除劳动合同。在解除前，用人单位需提前通知工会或向劳动者说明理由，并依法支付相应的经济补偿（若非因员工过错导致的解除，则无需支付）。特别地，如果员工提供虚假病假证明，即编造病假理由，用人单位一经查实，可以立即解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
- 举例：小王在病假期间，未经用人单位同意，擅自外出旅游，并且伪造了病假条。用人单位发现后，可以立即解除与小王的劳动合同，且无需支付经济补偿。
- 特殊群体的额外保护
- 值得注意的是，对于某些特殊群体，如哺乳期女职工，法律提供了额外的保护。在孕期、产期、哺乳期期间，用人单位不得依照《劳动合同法》中关于经济性裁员或无过失性辞退的规定（第四十条、第四十一条）解除劳动合同。
违法辞退的法律后果
- 员工权利
- 如果用人单位在员工病假期间违法辞退员工，员工有权要求用人单位继续履行劳动合同。
- 若劳动合同已不能继续履行或员工不要求继续履行，用人单位需支付赔偿金。
- 赔偿金计算
- 赔偿金标准为经济补偿标准的二倍。
- 举例：小赵在本单位工作了3年，月工资为6000元。用人单位在小赵病假期间违法辞退他，若小赵不要求继续履行劳动合同，那么用人单位需要支付给小赵的赔偿金为：\(2\times3\times6000 = 36000\)元。
建议：如果你正处于合同期内请病假却被用人单位辞退的情况，你可以先与用人单位协商，要求其说明辞退理由。如果协商无果，你可以收集相关证据，如病假条、劳动合同、辞退通知等，通过劳动仲裁或诉讼等法律途径来维护自身的合法权益。如果你还有其他疑问，可以直接向我咨询。