结论：是否继续这段关系需要您根据自身感受和实际情况综合判断，但从法律角度来看，对方欠您的6万元债务是可以通过法律途径追讨的。以下从情感和法律两个角度为您详细分析：
情感角度
- 信任破裂与关系修复：出轨行为往往导致信任关系的严重破裂。在一段关系中，信任是基石，一旦受损，修复起来极为困难。如果您认为这段关系还有挽回的余地，且对方有真诚的悔过表现，愿意共同努力修复关系，那么您可以考虑给予一定的机会。但如果您觉得无法再信任对方，或者出轨行为给您带来了极大的心理伤害，那么继续这段关系可能会让您更加痛苦。
- 个人感受与未来规划：您需要认真思考自己的感受，这段关系是否还让您感到幸福和满足？对方是否还值得您继续投入时间和精力？同时，也要考虑自己的未来规划，包括职业发展、家庭生活等方面，这段关系是否与您的未来规划相符？
法律角度
- 债务追讨：对方欠您的6万元属于明确的债权债务关系。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，债权人有权要求债务人履行还款义务。如果对方拒绝还款，您可以通过法律途径追讨，包括向法院提起诉讼、申请强制执行等。
- 诉讼流程：首先，您需要准备相关证据，如借条、转账记录、聊天记录等，以证明对方确实欠您钱款。然后，向有管辖权的法院提起诉讼，提交起诉状和证据材料。法院在受理案件后，会依法进行审理，并作出判决。如果判决支持您的诉求，对方仍不履行还款义务，您可以向法院申请强制执行。
- 诉讼时效：根据法律规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。因此，您需要在知道或应当知道权利受到损害之日起三年内提起诉讼，否则可能会丧失胜诉权。
- 证据收集：在追讨债务的过程中，证据的收集至关重要。您需要尽可能收集能够证明对方欠您钱款的证据，如书面借条、转账记录、聊天记录、录音录像等。这些证据将有助于您在诉讼中证明自己的主张，提高胜诉的可能性。
建议：
- 如果您决定继续这段关系，建议与对方进行坦诚的沟通，明确表达您的感受和期望，同时要求对方就出轨行为给出合理的解释和真诚的悔过。
- 如果您决定结束这段关系，并追讨债务，建议尽快收集相关证据，咨询专业律师（即我，刘季锋律师，专注于婚姻家庭、经济纠纷领域），了解具体的诉讼流程和注意事项，以便更好地维护自己的合法权益。
无论您做出何种决定，都请务必保持冷静和理智，不要让情绪左右您的判断。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。