打人者可以申请二次法医鉴定，但需满足法定条件并遵循特定程序。以下是具体分析：

1. 法律依据与程序要求
   根据《公安机关办理伤害案件规定》第二十条，若犯罪嫌疑人、被害人对首次鉴定结论有异议且提出申请，公安机关应委托其他具备资质的鉴定机构重新鉴定。关键点：

   • 需在收到首次鉴定意见后3日内提出书面申请；
     
   • 重新鉴定需由不同鉴定机构或原机构中不同鉴定人进行；
     
   • 公安机关认为必要时，也可直接决定重新鉴定。

2. 申请主体与限制

   • 打人者（犯罪嫌疑人）作为利害关系人，有权申请重新鉴定；
     
   • 被害人同样可提出申请，但需注意：若首次鉴定由公安机关委托，双方均享有申请权；若为单方委托（如被害人自行鉴定），对方可能需通过诉讼程序申请重新鉴定；
     
   • 重新鉴定次数限制：法律未明确规定上限，但实践中通常以两次为限（首次+一次重新鉴定），避免程序滥用。

3. 重新鉴定的启动条件
   公安机关需审查申请理由是否成立，常见合理情形包括：

   • 鉴定程序违法（如未回避利害关系人）；
     
   • 鉴定方法或依据存在重大瑕疵（如未采用最新技术标准）；
     
   • 鉴定人资质不符或存在违规行为；
     
   • 鉴定结论与其他证据明显矛盾（如伤情与监控录像不符）。
     若申请被驳回：打人者可向上级公安机关或检察机关申诉，要求监督纠正。

4. 实务建议

   • 及时行动：务必在法定期限内提出申请，逾期可能丧失权利；
     
   • 证据准备：提交书面申请时，需附具体异议理由及证据（如医疗记录、证人证言）；
     
   • 专业协助：建议委托律师协助审查鉴定报告，精准定位程序或实体问题，提高申请成功率。

总结：打人者有权申请二次鉴定，但需严格遵循法定程序并提供合理理由。若对流程或证据准备有疑问，可直接向我咨询具体操作方案。