结论：矫正对象在家人病危的紧急情况下，理论上可以未请假先去医院，但事后必须尽快向矫正机构说明情况并补办请假手续，否则可能面临一定的法律后果。以下从多个角度进行详细分析：
一、法律角度
矫正对象的义务：
- 矫正对象在矫正期间，有义务遵守矫正机构的管理规定，包括请假制度。未经批准擅自外出，属于违反矫正规定的行为。
紧急情况的例外：
- 在家人病危等紧急情况下，矫正对象可能面临生命、健康等重大权益的威胁或损害。此时，从人道主义和紧急避险的角度出发，矫正对象有权采取必要措施保护家人的生命健康，包括未请假先去医院。
事后补办手续：
- 矫正对象在紧急情况处理完毕后，应尽快向矫正机构说明情况，并补办请假手续。这是为了证明其行为的合理性和必要性，避免被认定为故意违反矫正规定。
二、实践角度
矫正机构的理解与配合：
- 在实际操作中，矫正机构通常会理解并配合矫正对象在紧急情况下的需求。他们可能会要求矫正对象提供相关证明（如医院诊断证明、家属病危通知书等），以便核实情况并作出相应处理。
可能的法律后果：
- 如果矫正对象未请假先去医院，且事后未及时向矫正机构说明情况并补办手续，矫正机构可能会根据其违反规定的情节轻重，给予相应的处罚，如警告、记过、延长矫正期限等。
- 在极端情况下，如果矫正对象的行为被认定为严重违反矫正规定，甚至可能面临撤销缓刑、假释等更严重的法律后果。
三、建议与措施
提前沟通：
- 矫正对象在可能面临家人病危等紧急情况时，应提前与矫正机构沟通，说明情况并请求批准请假。这样可以在紧急情况发生时，减少不必要的麻烦和风险。
保留证据：
- 在紧急情况发生时，矫正对象应尽可能保留相关证据（如医院诊断证明、家属病危通知书、通讯记录等），以便事后向矫正机构说明情况并证明其行为的合理性和必要性。
及时补办手续：
- 紧急情况处理完毕后，矫正对象应尽快向矫正机构说明情况并补办请假手续。这是为了避免被认定为故意违反矫正规定，从而减少可能的法律后果。
总结：矫正对象在家人病危的紧急情况下，可以未请假先去医院，但必须事后尽快向矫正机构说明情况并补办请假手续。同时，建议矫正对象在可能面临紧急情况时提前与矫正机构沟通，并保留相关证据以证明其行为的合理性和必要性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。