公司可以开除打架的员工，但必须满足一定的条件。以下是从不同角度对这一问题的详细分析：
公司规章制度的角度：
- 规章制度需明确：公司的规章制度中必须明确将打架斗殴列为严重违纪行为，并作为开除的依据。这是公司开除打架员工的前提和基础。
- 规章制度需合法有效：该规章制度需经过民主程序制定，并已向员工公示或组织培训学习，确保员工知晓并理解。如果规章制度不合理或未有效公示，公司以此开除员工可能被认定为违法解除劳动合同。
打架行为严重程度的角度：
- 行为需达严重程度：员工打架行为必须达到严重影响公司秩序、生产经营或造成实质性损害的程度。轻微的争执或推搡通常不足以构成开除的条件。
- 具体后果需评估：公司需要对打架行为的具体后果进行评估，包括是否造成人员受伤、财产损失，以及是否对公司形象造成负面影响等。这些因素都将影响公司是否决定开除员工。
开除程序合法性的角度：
- 程序需合法合规：公司在开除员工前，应进行充分调查，了解事情经过，听取员工陈述和申辩，并告知其违纪行为和开除理由，给予合理的申辩机会。这是确保开除程序合法性的重要步骤。
- 通知工会（如适用）：如果公司建立了工会组织，且解除劳动合同符合《劳动合同法》第三十九条、第四十条规定，但未按照《劳动合同法》第四十三条规定事先通知工会，劳动者以用人单位违法解除劳动合同为由请求用人单位支付赔偿金的，人民法院应予支持（但起诉前用人单位已经补正有关程序的除外）。
经济补偿问题的角度：
- 合法开除无需补偿：若公司依据合法有效的规章制度和程序开除打架员工，则无需支付经济补偿金。
- 违法开除需支付补偿：若公司开除行为被认定为违法，则需按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付经济补偿金。这里的月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
举例说明：
- 假设某公司员工A与员工B在工作场所内发生激烈争执并动手打架，导致员工B受伤住院。公司规章制度中明确规定打架斗殴为严重违纪行为，且已向员工公示。公司在调查后认为员工A的行为严重违反了公司规章制度，且对公司形象造成了负面影响，因此决定开除员工A。在此情况下，公司开除员工A的行为是合法的，无需支付经济补偿金。
- 相反，如果公司规章制度中未明确规定打架斗殴为严重违纪行为，或者公司未按照法定程序进行调查和通知工会（如适用），则公司开除员工A的行为可能被认定为违法解除劳动合同，需要支付经济补偿金。
总结与建议：
公司在处理员工打架事件时，应谨慎行事，确保处理结果的合法性和公正性。首先，要检查公司规章制度是否完善且合法有效；其次，要对打架行为进行客观评估，判断是否达到严重程度；最后，要确保开除程序的合法性，并给予员工合理的申辩机会。同时，公司也应加强员工培训和内部管理，预防类似事件的发生。如果您在处理此类问题时遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。