结论：在涉嫌寻衅滋事罪的情况下，取保候审的申请与是否拘留及拘留天数无直接固定关系，而是取决于犯罪嫌疑人的个人情况、犯罪性质、情节及社会危害性等多个因素。只要犯罪嫌疑人或被告人符合取保候审的条件，其本人、法定代理人、近亲属或辩护人即可在侦查、审查起诉、审判阶段提出取保候审申请。

详细分析：

1. 取保候审的适用条件：

   • 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，以下情形下的犯罪嫌疑人、被告人可以申请取保候审：
     1. 可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑：这包括了对罪犯不予关押但限制其自由的管制，短期剥夺人身自由的拘役，以及罚金、剥夺政治权利等附加刑。
     2. 可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性：需综合考虑犯罪嫌疑人的平时表现、社区联系等因素，确保取保候审后不会对社会造成危害。例如，初犯、偶犯且犯罪情节较轻，归案后如实供述罪行并积极退赃退赔的，通常可认为不致发生社会危险性。
     3. 患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或正在哺乳自己婴儿的妇女，且采取取保候审不致发生社会危险性：出于人道主义考虑，在确保安全的前提下，这类特殊群体可申请取保候审。如患有心脏病、癌症等重大疾病需住院治疗或长期服药的。
     4. 羁押期限届满，案件尚未办结，需要继续调查：当犯罪嫌疑人、被告人的羁押时间已达到或接近法定期限，而案件仍在侦查、审查起诉或审判阶段时，可采取取保候审措施。

2. 取保候审的申请时间：

   • 理论上，从犯罪嫌疑人被刑事拘留的那一刻起，直至判决生效前的任何时间点，都可以提出取保候审的申请。
   • 实践中，建议在刑事拘留后的初期，尤其是公安机关尚未向检察院提请批准逮捕之前提出申请，因为此时申请成功的几率相对较高。一旦检察院批准逮捕，后续再申请取保候审的难度往往会增加。

3. 取保候审的申请流程：

   • 提交申请：由犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或辩护人向办案机关提出书面申请，明确说明申请理由和拟采取的保证方式（如有保证人或交纳保证金）。
   • 审查决定：办案机关在收到申请后，将在三日以内对申请进行审查，并根据案件具体情况作出是否同意的决定。若同意，将要求犯罪嫌疑人、被告人提供保证人或交纳保证金。
   • 执行与遵守：取保候审由公安机关执行。在取保候审期间，犯罪嫌疑人、被告人必须严格遵守相关规定，如未经批准不得离开所居住的市、县，及时报告住址、工作单位和联系方式的变动等。

4. 取保候审后的注意事项：

   • 取保候审并不意味着案件已经了结。在取保候审期间，司法机关仍将继续依法进行侦查、起诉和审理案件。
   • 犯罪嫌疑人、被告人需严格遵守取保候审的规定，否则可能会被撤销取保候审，重新被羁押。

建议：

• 若您或您的亲友面临寻衅滋事罪的指控，并希望申请取保候审，建议尽快向我咨询以获取准确的法律意见和帮助。我将根据您的具体情况制定合适的策略，提高取保候审的成功率。
• 在申请取保候审时，务必准备充分的材料，如申请书、身份证明、授权委托书（如由律师代理）等，并以书面形式提出。同时，要确保申请理由充分、合理，符合取保候审的法定条件。

希望以上分析能对您有所帮助。如果您有任何其他问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。