结论：您刚申请法律援助但案子7月1日到期，目前仍有时间通过法律援助机构协调律师加快处理，或自行采取紧急措施避免超期，具体可从以下角度解决：

1. 立即联系法律援助机构，说明案件紧迫性

法律援助申请需经过审核、指派律师等流程，通常需要一定时间。但您的案件7月1日即将到期，时间非常紧张，建议第一时间联系受理您申请的法律援助中心（或通过12348法律服务热线查询进度），明确告知以下信息：

• 案件的截止日期（7月1日）；
• 案件的紧急程度（如涉及诉讼时效、上诉期、强制执行期限等）；
• 您目前是否已收到指派律师的通知（若未收到，需催促尽快指派）。

法律援助机构会根据情况优先处理您的案件，例如协调律师提前介入、加急办理指派手续等。

2. 若法律援助尚未指派律师，可同步自行采取紧急措施

如果法律援助流程无法在7月1日前完成（例如律师尚未指派或无法及时联系），为避免案件超期，您可同步自行处理关键事项，例如：

• 诉讼案件：若涉及起诉、上诉或申请强制执行，可先自行提交材料至法院（保留提交凭证），后续再由法律援助律师补充完善手续；
• 非诉案件：如协商、调解等，可先与对方沟通并留存书面记录（如短信、邮件），避免因超期丧失权利。

注意：自行处理时需保留所有证据（如提交材料的回执、沟通记录等），后续可交由法律援助律师整理归档。

3. 若已指派律师但时间不足，可与律师协商加急处理

如果法律援助机构已为您指派律师，但律师表示时间紧张，您可：

• 与律师明确案件截止日期，要求其制定加急处理方案（如优先起草法律文书、协调法院加快流程等）；
• 若律师因客观原因无法按时完成，可要求法律援助机构更换律师（需合理说明理由，如律师未及时响应、案件复杂程度超出其能力范围等）。

4. 特殊情况：申请延期或中止程序

如果案件因客观原因（如不可抗力、对方恶意拖延等）确实无法在7月1日前完成，您可：

• 诉讼案件：向法院申请延期开庭、中止审理或延长举证期限（需提交书面申请及证据）；
• 非诉案件：与对方协商签订补充协议，延长履行期限（需书面确认并留存证据）。

建议：此操作需在法律援助律师指导下进行，避免因程序错误导致权利丧失。

总结

您当前的核心目标是避免案件因超期失效，因此需双管齐下：一方面催促法律援助机构加快流程，另一方面自行采取紧急措施兜底。如果过程中遇到具体问题（如法院不接收材料、律师不配合等），可随时向我咨询，我会结合案件类型（民事/刑事/行政）和具体程序（诉讼/非诉）为您详细解答。