医院合同工不可以直接给护士签订备案制。以下是对此问题的详细分析：

1. 备案制的性质与签订主体：

   • 备案制通常指的是一种人事管理制度，它要求相关单位将人员信息、合同等文件报送至相关部门进行备案，以确认人员的合法身份和劳动关系。在医疗领域，备案制往往与护士的招聘、管理、薪酬等紧密相关。
   • 签订备案制的主体通常是医院或相关医疗机构，而不是医院内的某个合同工。合同工本身也是医院的一名员工，他们并不具备签订备案制的法律资格和权限。

2. 合同工与护士的劳动关系：

   • 合同工与护士都是医院或相关医疗机构的员工，他们之间并不存在直接的劳动关系签订或变更的权限。合同工不能代表医院与护士签订任何形式的合同或协议，包括备案制。
   • 护士的备案制签订应由医院的人力资源部门或相关管理部门负责，他们具备专业的法律知识和人事管理经验，能够确保签订过程的合法性和有效性。

3. 法律后果与风险：

   • 如果医院合同工擅自给护士签订备案制，这种行为可能构成无权代理或越权行为，导致签订的备案制无效或产生法律纠纷。
   • 对于医院来说，这种行为可能损害其声誉和信誉，甚至可能面临法律责任和行政处罚。对于护士来说，他们可能因此失去合法的劳动保障和权益。

4. 正确的做法：

   • 医院应严格按照相关法律法规和人事管理制度来签订和管理护士的备案制。这包括明确签订主体、签订程序、合同内容等，确保签订的备案制合法、有效、公平。
   • 如果护士对备案制有任何疑问或需要了解相关信息，他们应直接向医院的人力资源部门或相关管理部门咨询，而不是向医院内的合同工咨询。

建议：医院应加强对员工的人事管理培训，确保员工了解并遵守相关法律法规和人事管理制度。同时，护士也应增强自身的法律意识和权益保护意识，及时咨询和了解自己的劳动权益和保障情况。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。