遗弃罪的公安机关管辖权问题，结论前置如下：

1. 遗弃罪原则上属于公诉案件，由公安机关负责立案侦查。这是基于遗弃罪的刑事性质，以及公安机关在刑事侦查方面的专业性和资源优势。

2. 在特定情况下，遗弃罪也可作为自诉案件处理，但此时并不直接涉及公安机关的管辖权，而是由被害人直接向人民法院提起自诉。不过，若被害人因死亡、丧失行为能力等原因无法亲自告诉，其法定代理人、近亲属代为告诉的，且案件符合自诉条件时，人民法院会依法受理，而在此过程中若发现需要公安机关协助调查或取证的，公安机关仍会依法提供协助。

详细解析：

一、公安机关对遗弃罪的管辖权基础

根据《中华人民共和国刑法》第二百六十一条的规定，遗弃罪是指对于年老、年幼、患病或其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，且情节恶劣的行为。这一条款明确了遗弃罪的法律依据和刑事性质，为公安机关对遗弃罪的管辖权提供了基础。

二、公安机关管辖遗弃罪的具体情形

1. 报案、控告、举报后的立案侦查：

   • 当公安机关接到关于遗弃行为的报案、控告、举报后，会对案件进行初步审查。
   • 若认为有犯罪事实且需要追究刑事责任，公安机关将立案侦查，收集证据，并查明犯罪嫌疑人。

2. 全面收集证据与查明案件事实：

   • 公安机关会采取多种侦查手段，包括询问证人、调取监控录像、收集物证等，以全面、客观地收集与案件有关的证据。
   • 侦查人员会深入了解案件的背景和相关情况，包括被遗弃者的身份、健康状况、与犯罪嫌疑人的关系，以及遗弃行为发生的时间、地点、原因等。

3. 抓捕犯罪嫌疑人与后续处理：

   • 在掌握充分证据的基础上，如果有明确的犯罪嫌疑人，公安机关会采取相应的抓捕措施，确保犯罪嫌疑人归案。
   • 犯罪嫌疑人归案后，公安机关将依法进行进一步的调查和处理，包括移送人民检察院审查起诉等。

三、特殊情形下的处理

1. 自诉案件中的公安机关角色：

   • 虽然遗弃罪在一定情形下可作为自诉案件处理，但此时并不直接涉及公安机关的管辖权。
   • 然而，若被害人或其法定代理人、近亲属在提起自诉过程中需要公安机关协助调查或取证的，公安机关仍会依法提供协助。

2. 跨地区、跨国界遗弃案件的管辖：

   • 若遗弃案件涉及跨地区、跨国界等因素，可能影响管辖权的确定。
   • 在此类情况下，公安机关会与其他地区的公安机关或国际执法机构进行协作，共同打击遗弃犯罪。

四、实际操作建议

1. 及时报案：

   • 在遇到疑似遗弃行为时，应第一时间向当地公安机关报案，并提供尽可能详细的信息和证据。

2. 配合调查：

   • 配合公安机关的调查工作，如实陈述案件情况，提供必要的协助。

3. 寻求法律帮助：

   • 若在处理遗弃罪案件过程中遇到任何法律问题或需要进一步的帮助，可以直接向我咨询，我会根据案件的具体情况和相关法律法规，为你提供准确的法律意见和指导。

总结：遗弃罪的公安机关管辖权主要基于其刑事性质和公安机关在刑事侦查方面的专业性和资源优势。在处理遗弃罪案件时，公安机关会依法履行立案侦查、收集证据、查明案件事实、抓捕犯罪嫌疑人等职责。同时，在特殊情形下，公安机关也会与其他机构或国际执法机构进行协作，共同打击遗弃犯罪。若你在处理遗弃罪案件过程中遇到任何法律问题，可以直接向我咨询。