学校对踹伤他人的孩子进行处罚时，需依据行为的性质、后果及孩子的年龄，结合《未成年人保护法》《预防未成年人犯罪法》及《学生伤害事故处理办法》综合判断，具体处罚方式需分情况讨论：

一、若孩子为无民事行为能力人（不满8周岁）

1. 法律定性：根据《民法典》第20条，不满8周岁的未成年人为无民事行为能力人，其踹伤他人的行为通常不构成违法或犯罪，但需承担民事赔偿责任。
2. 学校责任：
   • 管理责任：若学校未尽到教育、管理职责（如未及时制止冲突、未安排教师监护等），需根据《民法典》第1199条承担相应赔偿责任。
   • 处罚措施：学校可对其批评教育，但不得实施体罚、变相体罚或侵犯人格尊严的行为（如辱骂、孤立等）。
3. 家长责任：家长需承担全部民事赔偿责任（如医疗费、护理费等），并加强对孩子的监护与教育。

二、若孩子为限制民事行为能力人（8周岁以上，不满18周岁）

1. 法律定性：
   • 民事责任：根据《民法典》第1188条，若孩子存在过错（如故意或重大过失），家长需承担侵权责任；若孩子有财产（如压岁钱、奖金等），优先从其财产中支付赔偿费用。
   • 行政责任：若行为情节较轻（如轻微伤），可能违反《治安管理处罚法》第43条，但因未满14周岁不予处罚，由公安机关责令家长严加管教。
   • 刑事责任：若行为构成故意伤害罪（如轻伤以上），根据《刑法》第17条，需满12周岁且经最高检核准追诉才承担刑事责任；若未满12周岁，不承担刑事责任。
2. 学校责任：
   • 管理责任：若学校未尽到管理职责（如未及时干预、未通知家长等），需根据《民法典》第1200条承担补充责任。
   • 处罚措施：学校可依据内部规章（如《中小学生守则》）给予纪律处分，包括警告、严重警告、记过、留校察看等，但不得开除义务教育阶段学生（根据《义务教育法》第27条）。
3. 家长责任：除民事赔偿外，家长需配合学校进行教育，必要时可送工读学校（现称“专门学校”）接受专门教育（根据《预防未成年人犯罪法》第43条）。

三、若孩子为完全民事行为能力人（已满18周岁）

1. 法律定性：需独立承担民事、行政及刑事责任。
   • 民事责任：赔偿受害者全部损失（如医疗费、误工费、残疾赔偿金等）。
   • 行政责任：若构成违反治安管理行为（如故意伤害他人身体），根据《治安管理处罚法》第43条，可处5-10日拘留并罚款；情节较轻的，处5日以下拘留或500元以下罚款。
   • 刑事责任：若构成故意伤害罪（轻伤以上），根据《刑法》第234条，可处3年以下有期徒刑、拘役或管制；致人重伤的，处3-10年有期徒刑；致人死亡或以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处10年以上有期徒刑、无期徒刑或死刑。
2. 学校责任：若学校无过错（如已尽到管理职责），不承担责任；若存在过错（如未及时报警、未保护现场等），需承担相应补充责任。
3. 处罚措施：学校可依据校规给予纪律处分，但无权限制其人身自由或实施其他非法处罚。

四、关键建议

1. 学校：应立即启动应急预案，保护现场、通知家长、送医救治，并依据校规调查事实、听取双方陈述，避免偏袒或主观判断。
2. 家长：需积极配合学校调查，主动承担赔偿责任，并加强对孩子的法治教育，引导其通过合理方式解决矛盾。
3. 受害者：可要求学校或家长提供医疗证明、费用清单等证据，通过协商、调解或诉讼途径主张权利。

若需进一步分析具体情节（如踹伤部位、是否使用工具、是否存在预谋等），可直接向我咨询，我将结合证据材料提供更精准的法律意见。