当公司开除员工却不出具书面证明时，这种做法确实是违法的，并且严重侵害了您的合法权益。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，公司必须在解除或终止劳动合同时为您出具书面证明，否则将承担法律责任。下面我将为您详细介绍应对这种情况的具体步骤和注意事项：
一、与公司协商
- 主动沟通：首先，您可以尝试与公司的人力资源部门或直接上级进行友好、诚恳的沟通。明确表达您需要书面开除证明的诉求，并说明该证明对于您后续找工作、办理失业登记等的重要性。
- 保留证据：在协商过程中，建议您保留好相关的聊天记录或通话录音作为证据，以备后续维权之需。
二、向劳动监察部门投诉
- 了解投诉渠道：您可以拨打当地劳动监察部门的投诉电话（如12333），或者亲自前往劳动监察大队办公地点进行现场投诉。
- 准备投诉材料：在投诉前，请准备好相关证据材料，如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等，以证明您与该公司的劳动关系以及被开除的事实。
- 提交投诉并等待处理：按照劳动监察部门的要求，填写投诉表格，详细陈述事情的经过和您的诉求。劳动监察部门在收到投诉后，会对公司进行调查核实。如果发现公司确实存在未按规定开具书面证明的行为，会责令其限期改正；逾期不改正的，可能会对公司处以罚款等行政处罚。
三、申请劳动仲裁
- 准备仲裁申请材料：
- 仲裁申请书：应写明您和公司的基本信息、仲裁请求（要求公司开具书面开除证明）、事实和理由等内容。
- 证据材料：包括能够证明劳动关系的证据（如劳动合同、工资条等）以及其他能支持您主张的证据，比如与公司就开除事宜沟通的聊天记录、证人证言等。
- 提交申请并等待处理：将准备好的仲裁申请材料提交给劳动争议仲裁委员会。仲裁委员会在收到申请后，会在规定的时间内进行审查，符合条件的予以受理。然后会安排开庭时间，组织双方进行庭审。在庭审中，您需要充分阐述自己的观点和诉求，并提供相关证据支持。仲裁委员会将根据双方的陈述和证据作出裁决。如果裁决支持您的诉求，公司应当在规定的期限内履行裁决结果，即开具书面开除证明。
四、提起诉讼
- 适用情形：如果您对劳动仲裁结果不满意，或者公司拒不履行仲裁裁决，您可以在法定期限内向人民法院提起诉讼。
- 诉讼流程：需向法院提交起诉状和相关证据材料，法院将依法审理案件。在审理过程中，您要积极配合法院的调查和庭审工作，通过法律程序维护自己的权益。若法院判决公司开具书面开除证明，而公司仍然拒绝执行，您可以申请法院强制执行。
五、注意事项
- 在整个维权过程中，请务必妥善保管所有相关证据和材料，包括通话录音、短信记录、邮件、工作交接单等。这些证据将有助于证明公司的违法行为以及您的合法权益受到了侵害，为维权提供有力支持。
- 维权过程可能需要一定的时间和精力，请保持耐心和冷静，依法维护自己的权益。
综上所述，公司开除员工时不出具书面证明是违法的，您应依法维护自己的合法权益。通过与公司协商、向劳动监察部门投诉以及申请劳动仲裁或提起诉讼等措施，您可以有效维护自己的权益并获得应有的赔偿。