公民在被错误地刑事拘留并因此遭受损害时，确实有权依法向相关机关申请国家赔偿。以下是对这一问题的详细分析：

一、法律依据与赔偿权利

根据《中华人民共和国国家赔偿法》第十七条的规定，当行使侦查、检察、审判职权的机关以及看守所、监狱管理机关及其工作人员在行使职权时，违反刑事诉讼法的规定对公民采取拘留措施，或者拘留时间超过法定时限且后续决定撤销案件、不起诉、判决宣告无罪终止追究刑事责任的，受害人有取得赔偿的权利。这一规定为公民在被错误刑事拘留后申请国家赔偿提供了明确的法律依据。

二、赔偿的构成要件

1. 主体要件：实施错误拘留的主体必须是依法具有侦查、检察、审判等职权的机关及其工作人员，如公安机关、人民检察院等。

2. 行为违法性要件：

   • 违反法定条件拘留：拘留必须严格符合刑事诉讼法规定的条件，如无足够证据证明犯罪嫌疑人实施了犯罪行为就进行拘留，或者超过了法定的拘留期限而未办理合法延长手续，这些都属于违反刑事诉讼法的规定。
   • 超期拘留：即使拘留初始合法，若超过法定时限且后续案件被撤销、不起诉或判决无罪，也视为违法拘留。

3. 结果要件：错误的刑事拘留必须对公民的人身自由造成实际限制，即产生实际的损害后果。

4. 因果关系要件：公民人身自由的损害必须与错误的刑事拘留行为存在直接的因果联系。

三、申请赔偿的程序

1. 确认违法：首先需由有权机关确认拘留行为的错误性，这通常通过撤销案件、不起诉决定或法院判决宣告无罪等方式实现。

2. 提出赔偿申请：赔偿请求人应向赔偿义务机关（即作出错误拘留决定的机关）提交赔偿申请书及相关证据材料，如证明拘留错误的法律文书、人身自由受限的证明等。

3. 赔偿义务机关的处理：

   • 赔偿义务机关应在收到申请之日起两个月内作出是否赔偿的决定。
   • 若决定赔偿，应制作赔偿决定书并在规定期限内支付赔偿金。
   • 若决定不予赔偿，应书面通知赔偿请求人并说明理由。

4. 申请复议或提起诉讼：

   • 若赔偿请求人对赔偿义务机关的决定不服，可在规定期限内向其上一级机关申请复议。
   • 也可直接向人民法院赔偿委员会申请作出赔偿决定，以确保赔偿请求的合法性与公正性。

四、赔偿方式与计算

• 赔偿方式：一般以支付赔偿金为主。
• 赔偿金计算：对于侵犯公民人身自由的赔偿，每日赔偿金按照国家上年度职工日平均工资计算。具体公式为：赔偿金总额 = 每日赔偿金 × 被拘留天数。

五、特殊情形下的国家不承担赔偿责任

虽然公民在被错误刑事拘留后有权申请国家赔偿，但也存在一些特定情形下国家不承担赔偿责任的情况，如“依照刑法规定不负刑事责任的人被羁押”或“依照刑事诉讼法规定不追究刑事责任的人被羁押”。

六、建议与总结

如果您或您身边的人遭遇了错误的刑事拘留，建议尽快收集相关证据，并按照法定程序向赔偿义务机关提出赔偿申请。如果对赔偿义务机关作出的决定不服，还可以申请复议或向人民法院提起诉讼。错误的刑事拘留严重侵害了公民的合法权益，受害人应积极维护自身权益，依法申请国家赔偿。

在处理此类问题时，如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我将根据您的具体情况，提供全面、专业的法律建议。