结论：在没有给一楼车库补偿的情况下安电梯，一楼车库业主是有权提起诉讼的，但具体诉讼理由和胜诉可能性需结合实际情况判断。以下从不同角度进行分析：

一、法律背景与依据

1. 物权保护原则：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，业主对其建筑物专有部分享有占有、使用、收益和处分的权利。一楼车库作为业主的专有部分，其权益受法律保护。
   • 若加装电梯的行为对一楼车库的通风、采光、通行等造成实质性影响，且未给予合理补偿，则可能构成对一楼车库业主物权的侵害。

2. 相邻关系处理原则：

   • 相邻关系中，各方应遵循有利生产、方便生活、团结互助、公平合理的原则处理相邻关系。
   • 加装电梯虽可能提升整体居住便利性，但若对一楼车库业主造成不合理影响，且未协商补偿，则违反相邻关系处理原则。

二、可能提起的诉讼类型及理由

1. 物权保护纠纷诉讼：

   • 理由：一楼车库业主可主张加装电梯行为侵犯其物权，要求停止侵害、恢复原状或赔偿损失。
   • 关键点：需证明加装电梯对一楼车库造成了实质性影响，且该影响未通过合理补偿得到弥补。

2. 相邻关系纠纷诉讼：

   • 理由：一楼车库业主可主张加装电梯行为违反相邻关系处理原则，要求排除妨碍或赔偿损失。
   • 关键点：需证明加装电梯对一楼车库业主的正常使用造成了不合理妨碍，且未协商解决。

三、诉讼前的建议与准备

1. 收集证据：

   • 一楼车库业主应收集加装电梯前后的照片、视频等证据，证明加装电梯对其物权或正常使用造成了影响。
   • 收集与加装电梯相关的规划、审批文件，了解加装电梯的合法性和程序合规性。

2. 协商与调解：

   • 在提起诉讼前，建议一楼车库业主先与加装电梯的业主或相关单位进行协商，尝试通过调解解决纠纷。
   • 协商过程中，可明确提出补偿要求，并保留协商记录作为后续诉讼的证据。

3. 咨询专业律师：

   • 在提起诉讼前，建议一楼车库业主咨询专业律师，了解诉讼风险和胜诉可能性，制定合理的诉讼策略。

四、可能的法律后果

1. 若诉讼成功：

   • 一楼车库业主可能获得停止侵害、恢复原状或赔偿损失等判决。
   • 加装电梯的业主或相关单位需承担相应的法律责任，包括拆除电梯、恢复原状或支付赔偿金等。

2. 若诉讼失败：

   • 一楼车库业主需承担诉讼费用等不利后果。
   • 加装电梯的行为可能继续存在，一楼车库业主需继续承受加装电梯带来的影响。

进一步思考：在处理此类纠纷时，应充分考虑加装电梯的公共利益和一楼车库业主的合法权益之间的平衡。通过协商、调解等方式解决纠纷，既有利于维护邻里关系和谐，也有利于降低诉讼成本和时间成本。若协商、调解无果，再考虑通过诉讼途径解决纠纷。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。