结论：信用卡逾期一个月后，即使每月偿还部分款项，仍然存在被银行起诉的可能性。是否会被起诉取决于多个因素，包括还款金额、逾期时间、欠款总额以及银行的具体政策。
详细分析
还款金额与诚意：
- 每月偿还部分款项确实表明你有还款意愿，但如果还款金额过小，远低于最低还款额或银行的基本要求，银行可能会认为你缺乏足够的还款能力或诚意，进而选择起诉。例如，若你的信用卡欠款为1万元，每月仅偿还100元，这样的还款速度显然无法满足银行的要求，银行可能会因此采取法律手段。
逾期时间与风险：
- 逾期时间越长，银行的风险越大。即使你每月都有还款行为，但如果逾期时间过长，如超过半年，银行可能会因无法长期等待而选择起诉。长期逾期不仅损害了你的信用记录，也增加了银行的资金压力。
欠款金额大小：
- 欠款金额是银行决定是否起诉的重要因素之一。如果欠款金额较大，即使你每月偿还一部分，剩余欠款仍可能对银行造成较大损失。在这种情况下，银行可能更倾向于通过起诉来一次性解决问题。例如，若欠款金额高达数十万元，每月偿还几千元可能只是杯水车薪，银行可能会因此选择法律途径。
银行政策与容忍度：
- 不同银行对于信用卡逾期的处理政策和容忍度存在差异。有些银行可能相对宽松，愿意给予持卡人更多的时间和机会来还款；而有些银行则可能较为严格，一旦出现逾期情况，即使持卡人有还款行为，也可能会迅速采取起诉等法律措施。
建议与对策
积极沟通：
- 尽快与银行或金融机构取得联系，明确了解你的欠款情况和还款要求。尝试与银行协商制定一个可行的还款计划，并严格按照计划执行。这不仅可以降低被起诉的风险，还有助于改善你的信用状况。
履行还款义务：
- 努力按照与银行协商的还款计划进行还款，至少应达到最低还款额的要求。这将显示出你的还款诚意和能力，有助于降低被起诉的风险。如果确实无法按时还款，应及时与银行沟通并说明情况，寻求延期还款或分期还款等解决方案。
改善信用状况：
- 努力改善自己的信用状况，避免再次出现逾期等不良记录。良好的信用记录将有助于你在未来获得更好的金融服务和更低的利率。你可以通过按时还款、合理使用信用卡等方式来维护自己的信用记录。
寻求法律帮助：
- 如果你确实面临被起诉的风险或已经收到法院的传票等法律文书，应及时寻求法律帮助。作为专业律师，我可以为你提供法律咨询和辩护服务，帮助你应对法律纠纷并维护自己的合法权益。
总之，信用卡逾期后每月偿还部分款项并不能完全保证你不会被起诉。为了避免法律风险和维护良好的信用记录，建议你积极与银行沟通、协商还款计划，并努力履行自己的还款义务。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。