结论：破产程序终结后，管理人一般不再继续执行职务，但在存在未决诉讼、仲裁或特定遗留事务等情况下，管理人可能需根据法律规定或法院指定继续履行职责，包括起诉等诉讼活动。
详细分析：
一般原则：
- 破产程序的终结标志着破产案件的主要流程已完成，相关债权债务已依法处理，管理人的主要职责也已履行完毕。
- 根据《中华人民共和国企业破产法》第一百二十二条的规定，管理人于办理注销登记完毕的次日终止执行职务。这意味着，在正常情况下，破产程序终结后，管理人不再继续执行职务。
特定情形下的继续履职：
- 未决诉讼或仲裁：如果破产程序终结时存在未决的诉讼或仲裁案件，管理人需要继续履行诉讼或仲裁代表职能，直至案件终结。这是为了保障破产债权人的利益，确保诉讼或仲裁的顺利进行。
- 遗留事务处理：破产程序终结时，可能存在一些尚未处理完毕的遗留事务，如财产过户手续、未了结的合同事宜等。管理人可能需要根据法律规定或法院指定继续处理这些事务，直至完成相关工作。
- 新财产发现：如果在破产程序终结后，发现之前未被发现的财产或存在后续可能影响债权人利益的事项，管理人也可能需要根据法律规定或法院指定继续履行职责，包括起诉等诉讼活动，以保障债权人的合法权益。
法律建议：
- 对于管理人而言，在破产程序终结后，应仔细审查是否存在未决诉讼、仲裁或特定遗留事务等情况。如果存在这些情况，管理人应及时与法院沟通，明确自己的职责和权限，确保诉讼或仲裁的顺利进行，以及遗留事务的妥善处理。
- 对于债权人而言，如果破产程序终结后发现管理人未履行其职责或存在违法行为，可以及时向法院反映情况，要求管理人继续履行职责或追究其法律责任。
可能法律后果：
- 如果管理人在破产程序终结后，未经法院指定或法律规定，擅自继续执行职务或进行诉讼活动，可能会面临法律责任，包括被法院撤销相关行为、承担赔偿责任等。
- 如果管理人未履行其职责，导致债权人利益受损，债权人可以向法院申请追究管理人的法律责任，并要求其承担相应的赔偿责任。
综上所述，破产程序终结后，管理人是否继续执行职务并起诉等诉讼活动，取决于是否存在特定情况。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。