医疗期的申请并不取决于单位性质，无论是大型企业还是小型私人企业，员工都依法享有医疗期及相关权益。针对您的情况，以下是具体分析和建议：

1. 医疗期的申请流程
   根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，医疗期的申请需遵循以下步骤：

   • 第一步：提交医疗证明
     员工需向单位提供二级以上医院出具的《病假建议书》或《诊断证明书》，明确病情及建议休息时间。这是申请医疗期的核心依据，单位无权拒绝接受合法医疗证明。
     
   • 第二步：填写请假申请
     按单位内部流程（如书面或电子系统）提交请假申请，注明“医疗期请假”并附医疗证明。若单位无专门流程，可口头说明后补交书面材料。
     
   • 第三步：单位确认
     单位应在收到申请后核实材料真实性，并依据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》确定医疗期时长（根据工龄和在本单位工作年限，一般为3-24个月）。
     

2. 单位要求“只能请事假”是否合法？

   • 不合法情形：若您符合医疗期条件（即因患病或非因工负伤需停止工作治疗），单位强制要求请事假属于违法行为。医疗期是法定权利，单位不得以事假替代，且事假通常无工资，而医疗期内单位需支付病假工资（不低于当地最低工资的80%）。
     
   • 合法情形：若您无法提供合法医疗证明，或病情不符合“需停止工作治疗”的标准（如轻微感冒），单位可要求按事假处理。但需注意，单位不得以此为由变相剥夺医疗期权益。
     

3. 应对建议

   • 与单位沟通：向单位说明医疗期的法律规定，提供医疗证明并要求按医疗期处理。可引用《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》第3条（医疗期时长）和第5条（病假工资标准）增强说服力。
     
   • 投诉或仲裁：若单位拒绝，可向当地劳动监察大队投诉（电话12333），或申请劳动仲裁，主张医疗期权益及病假工资。
     
   • 保留证据：保存医疗证明、请假记录、与单位的沟通记录（如微信、邮件），以备后续维权使用。
     

总结：您有权依法申请医疗期，单位不得强制要求请事假。建议先与单位协商，若协商无果，可通过法律途径维护权益。如有进一步疑问，可随时向我咨询。