当您在超市购买到发霉的鸡蛋时，您完全有权依法要求赔偿。以下是我为您详细梳理的赔偿流程与操作步骤，希望能帮助您更好地维护自己的合法权益。

一、明确赔偿依据与权益

根据《中华人民共和国食品安全法》的相关规定，超市出售的食品必须符合食品安全标准。若您购买的鸡蛋发霉，这明显违反了食品安全标准，您有权要求超市进行赔偿。赔偿范围不仅包括您购买鸡蛋的实际价款，还可能包括因食用发霉鸡蛋可能产生的医疗费用等损失。此外，根据法律，您还有权要求超市支付价款十倍或损失三倍的赔偿金，若增加赔偿的金额不足一千元，则按一千元计。

二、保留关键证据

在要求赔偿前，请务必保留好以下关键证据：

1. 购物小票：这是证明您在该超市购买鸡蛋的重要凭证，上面会显示购买时间、地点、商品名称及价格等信息。
2. 发霉鸡蛋：请将发霉的鸡蛋原样封存，避免其进一步变质或损坏，以便后续作为实物证据使用。同时，您可以拍摄发霉鸡蛋的照片或视频，作为直观的证据。

三、与超市协商

携带上述证据，前往超市客服部门或找到值班经理，说明情况并提出赔偿要求。在协商过程中，您可以依据相关法律法规明确提出自己的赔偿诉求，如要求退款、换货或支付赔偿金等。态度请保持平和但坚定，以维护自己的合法权益。

四、向相关部门投诉

如果与超市协商无果，您可以通过以下途径进行投诉：

1. 向消费者协会投诉：拨打12315消费者投诉举报专线，详细说明购买鸡蛋的情况、与超市协商的过程及结果等。消费者协会会协助您与超市进行沟通协调，促使问题得到解决。
2. 向市场监督管理部门投诉：向当地的市场监督管理部门反映情况，他们有权对超市进行调查和处罚。您可以通过官方网站、电话等渠道进行投诉，并配合相关部门的调查工作。

五、考虑法律途径

若通过上述方式均未能有效解决问题，您还可以考虑通过法律途径来维护自己的权益：

1. 咨询专业律师：在提起诉讼前，建议咨询专业律师，了解具体的法律程序和诉讼策略，以提高胜诉的可能性。
2. 提起诉讼：若必要，准备好相关证据和起诉状，向有管辖权的人民法院提起民事诉讼。在诉讼过程中，要积极配合法院的工作，按时参加庭审等程序。

预防与建议：

为避免未来再次购买到发霉的食品，建议您在购买时仔细检查食品包装是否完好、生产日期和保质期是否清晰有效，并选择信誉良好的品牌和销售渠道。同时，提高自身的食品安全意识也是预防此类问题的关键。

综上所述，购买到发霉鸡蛋时，请务必保留好证据，并与超市进行协商。若协商无果，可以向消费者协会或市场监督管理部门投诉。若仍无法解决问题，可以考虑通过法律途径来维护自己的合法权益。希望这些建议能对您有所帮助。