核心结论：借款人死亡且未约定还款时间的情况下，担保人的责任需根据担保方式（一般保证或连带责任保证）、是否超过保证期间、债权人是否在法定期间内主张权利等因素综合判断。以下是具体分析：

1. 担保方式的认定是关键

• 一般保证：若担保合同未明确约定担保方式，或约定为“一般保证”，则担保人享有先诉抗辩权。即债权人需先向借款人的遗产主张权利（如起诉继承人），在遗产不足以清偿债务时，才能要求担保人承担责任。
• 连带责任保证：若担保合同明确约定为“连带责任保证”，或虽未约定但根据《民法典》第六百八十六条推定为连带责任保证，则债权人可直接要求担保人偿还全部债务，无需先向借款人遗产主张。

2. 未约定还款时间的影响

• 诉讼时效：未约定还款时间的，债权人可随时要求借款人（或其继承人）还款，诉讼时效从债权人首次主张权利之日起算3年。若借款人死亡，债权人需在知道或应当知道借款人死亡后3年内，向其继承人主张权利。
• 保证期间：担保人的责任受保证期间限制。若未约定保证期间，默认为主债务履行期届满之日起6个月。但未约定还款时间时，保证期间从债权人要求借款人履行债务的宽限期届满之日起算。若债权人未明确宽限期，需结合交易习惯或证据综合判断。

3. 借款人死亡后的处理步骤

• 第一步：确认债务范围
  债权人需先通过继承程序确定借款人遗产范围，并明确债务是否属于遗产可清偿范围（如遗产不足以清偿全部债务，需按比例分配）。
• 第二步：向继承人主张权利
  债权人应向借款人的继承人（如配偶、子女、父母）送达书面催款通知，要求其在继承遗产范围内偿还债务。若继承人放弃继承，则无需承担还款责任。
• 第三步：判断是否需起诉担保人
  
  • 若担保为一般保证，需在起诉继承人并获得生效判决后，确认遗产不足清偿时，再起诉担保人。
  • 若担保为连带责任保证，可直接起诉担保人，但需注意保证期间是否已过（若超过保证期间，担保人免责）。

4. 担保人的抗辩权

• 保证期间已过：若债权人在保证期间内未要求担保人承担责任，担保人可主张免责。
• 遗产实际清偿能力：担保人可主张借款人遗产已足够清偿债务，或债权人未依法向继承人主张权利，从而减轻或免除自身责任。
• 主合同无效或变更：若借款合同存在无效情形（如赌博债务），或债权人未经担保人同意变更主合同（如延长还款期限），担保人可能免责。

5. 实务建议

• 对债权人：
  
  1. 立即向借款人继承人发送书面催款通知，固定诉讼时效；
     
  2. 同步向担保人主张权利（若为连带责任保证），避免保证期间经过；
     
  3. 申请财产保全，防止遗产被转移。
• 对担保人：
  
  1. 核查担保合同条款，确认担保方式及保证期间；
     
  2. 监督债权人是否依法向继承人主张权利，保留抗辩证据；
     
  3. 若遗产已足够清偿债务，可要求债权人先执行遗产。

总结：借款人死亡且未约定还款时间时，担保人的责任需结合担保方式、保证期间、债权人主张权利的时效等因素综合判断。建议债权人及时固定证据并启动法律程序，担保人则应积极核查合同条款并行使抗辩权。如有具体案件细节，可进一步向我咨询。