结论：您可以尝试索赔，但能否成功取决于能否证明邻居存在过错、该过错与自行车生锈之间存在因果关系，以及您自身是否存在过错等因素。以下从不同角度为您详细分析：
法律背景
- 相邻关系原则：根据《中华人民共和国民法典》中关于相邻关系的规定，不动产的相邻权利人应当按照有利生产、方便生活、团结互助、公平合理的原则，正确处理相邻关系。邻居在公共区域安装空调外机，应当确保不会对相邻方造成损害。如果空调外机漏水导致您的自行车生锈，邻居可能违反了这一原则。
- 侵权责任构成：要构成侵权责任，一般需要满足四个要件：行为人存在过错、有损害事实的发生、过错行为与损害事实之间存在因果关系、行为人没有法定免责事由。在您的情况下，如果邻居安装空调外机的方式不当（如未安装排水管或排水管安装不合理），导致漏水，且该漏水确实造成了您的自行车生锈，同时您自身不存在过错（如未将自行车停放在合理位置等），那么邻居可能构成侵权，您有权要求其承担赔偿责任。
法律建议
- 收集证据：
- 现场照片：拍摄空调外机漏水的现场照片，以及自行车生锈的照片，以证明损害事实的发生。
- 维修记录或报价单：如果自行车需要维修，保留维修记录或维修报价单，以证明您的实际损失。
- 证人证言：如果有目击者看到空调外机漏水或自行车生锈的情况，可以请其出具证人证言。
- 与邻居协商：在收集到足够证据后，您可以先尝试与邻居协商解决此事。您可以向邻居说明情况，出示证据，并提出合理的赔偿要求。
- 寻求第三方调解：如果协商无果，您可以考虑寻求第三方调解，如物业、居委会或人民调解委员会等。这些机构可以协助您与邻居进行沟通，促成双方达成和解。
- 提起诉讼：如果调解也无果，您可以向法院提起诉讼，要求邻居承担赔偿责任。在诉讼过程中，您需要提交上述收集的证据，以证明邻居的过错和您的损失。
可能的法律后果
- 如果胜诉：法院将判决邻居承担赔偿责任，赔偿金额将根据您的实际损失（如自行车维修费用、贬值损失等）进行确定。
- 如果败诉：如果法院认为您未能提供足够证据证明邻居存在过错或该过错与自行车生锈之间存在因果关系，或者认为您自身存在过错，那么您可能无法获得赔偿。
特殊情况考虑
- 公共区域的使用权：如果公共区域的使用权有明确规定（如小区管理规约或业主公约等），且邻居安装空调外机的行为违反了这些规定，那么这也可以作为您索赔的依据之一。
- 邻居的抗辩理由：邻居可能会提出抗辩理由，如空调外机漏水是正常现象、自行车生锈是自然老化等。您需要针对这些抗辩理由准备相应的反驳证据。
在处理此类纠纷时，建议您保持冷静和理性，通过合法途径维护自己的权益。如果您在处理过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。