在老公存在婚外情且育有私生子的情况下，您可以通过以下两种主要途径获得补偿，但需结合具体证据和法律程序推进：

1. 离婚时主张损害赔偿（核心途径）

根据《民法典》第1091条，若您选择离婚，可因对方“与他人同居”或“有其他重大过错”（如长期婚外情并生育子女）主张离婚损害赔偿。具体操作需注意：

• 证据收集：需证明对方存在持续、稳定的婚外关系（如聊天记录、亲密照片、证人证言等），私生子出生证明、亲子鉴定报告等是关键证据，可直接证明过错程度。
• 赔偿范围：包括物质赔偿（如您为家庭付出的额外成本）和精神损害赔偿（法院通常根据过错程度、经济能力等酌定，一般几千至几万元不等，极端案例可能更高）。
• 程序要求：需在离婚诉讼中一并提出，若已离婚未主张，后续单独起诉损害赔偿可能被驳回（除非离婚协议中明确保留权利）。

2. 要求对方承担非婚生子女的抚养义务（间接补偿）

根据《民法典》第1071条，非婚生子女与婚生子女享有同等权利，您可要求对方：

• 支付抚养费：若对方未直接抚养私生子，您可主张其按月收入的20%-30%支付抚养费（直至子女成年），这部分费用实际减轻了您家庭的经济负担。
• 分割共同财产时少分：若对方用夫妻共同财产支付私生子抚养费，您可在离婚时主张该部分费用为“挥霍共同财产”，要求对方少分财产（需提供转账记录等证据）。

⚠️ 关键提醒：

• 证据为王：私生子存在仅能证明过错，但若想获得更高赔偿，需证明对方长期同居、家庭暴力等加重情节。
• 行动时效：若选择离婚，建议在发现私生子后尽快取证，避免对方转移财产或销毁证据。
• 心理准备：损害赔偿金额通常低于预期，法院更侧重平衡双方经济能力，建议结合财产分割、抚养权等综合谈判。

建议步骤：

1. 秘密收集证据（如委托律师调查取证）；
   
2. 评估婚姻是否值得挽回（若选择继续婚姻，可签订《婚内财产协议》保障权益）；
   
3. 若决定离婚，同步提起损害赔偿和财产分割诉讼，最大化争取补偿。
   

如有具体证据或细节需要分析，可进一步向我说明，我会为您制定更精准的方案。