在处理公司裁员与员工怀孕这一特殊情况时，我们首先要明确的是，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，女职工在孕期、产期、哺乳期内，用人单位原则上不得随意解除劳动关系。不过，也存在一些法定情形，允许用人单位合法解除劳动合同。接下来，我将详细阐述这些情形以及解除劳动关系的正确程序。
一、用人单位可合法解除劳动关系的情形
严重违反用人单位规章制度：
- 如果怀孕员工严重违反了公司依法制定并公示的规章制度，比如多次旷工、严重失职或营私舞弊，且这些行为达到了严重违反的程度，公司可以解除劳动合同。但前提是，这些规章制度必须经过民主程序制定，并且已经向员工公示。
试用期被证明不符合录用条件：
- 对于处于试用期的怀孕员工，如果公司有证据证明她不符合录用条件，比如招聘时明确要求具备特定专业技能证书而员工未能提供，那么公司可以解除劳动合同。这要求公司在招聘时明确规定录用条件，并在试用期内进行严格的考核。
存在欺诈等致使劳动合同无效的情形：
- 如果怀孕员工通过欺诈、胁迫的手段或乘人之危，使公司在违背真实意思的情况下订立或变更劳动合同，比如伪造学历证书获得工作岗位，导致劳动合同无效，公司可以解除劳动关系。
被依法追究刑事责任：
- 如果怀孕员工被依法追究刑事责任，比如被判处拘役、有期徒刑等刑罚，公司可以解除劳动合同。这里的“被依法追究刑事责任”特指被人民法院判处刑罚等情况。
员工自愿离职：
- 如果怀孕员工自愿提出离职，公司当然可以与其解除劳动关系。
二、解除劳动关系的程序
调查取证：
- 在决定解除劳动合同前，公司应收集能证明员工存在上述可解除劳动关系情形的证据，包括违纪记录、考核结果、书面通知、证人证言等。
通知工会：
- 公司解除劳动合同前，应当事先将理由通知工会，并研究工会的意见，将处理结果书面通知工会。这是保障员工权益的重要步骤。
书面通知员工：
- 公司应以书面形式通知员工解除劳动合同，明确解除原因、依据及时间等信息。这是确保双方权益得到明确保障的关键。
三、特殊保护规定与违法解除的后果
特殊保护规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条的规定，女职工在孕期、产期、哺乳期的，公司不得依照该法第四十条（无过失性辞退）、第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。如果女职工在孕期劳动合同期满，劳动合同应当续延至相应的情形消失时终止，即至少应续延至哺乳期结束。
违法解除的后果：
- 如果公司在不具备上述法定情形的情况下违法解除与怀孕员工的劳动关系，员工有权要求公司继续履行劳动合同，恢复工作岗位及福利待遇。
- 如果员工不要求继续履行劳动合同或劳动合同已不能继续履行，公司应当依照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。经济补偿标准按员工在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
综上所述，公司在处理与怀孕员工的劳动关系时，必须严格遵守法律法规，确保解除行为合法合规。在裁员过程中，应优先考虑其他合法途径，如协商、调岗等，以避免违法解除带来的法律风险和经济损失。同时，公司也应加强对员工的关怀和支持，共同营造和谐、稳定的劳动关系。