结论前置：物业费逾期，物业通常不可以直接关空调，这一行为可能涉及违法。下面我将从多个角度为你详细分析。

法律角度分析

1. 物业的权力范围：

   • 物业公司的职责主要是按照物业服务合同的约定，对房屋及配套的设施设备和相关场地进行维修、养护、管理，维护相关区域内的环境卫生和秩序。其权力来源于业主的授权和物业服务合同的约定，并不包括随意切断业主生活设施（如空调）的权力。

2. 业主的权利：

   • 业主作为房屋的所有权人，享有对房屋及其附属设施的使用权。空调作为房屋的附属设施，业主有权正常使用。物业无权因物业费逾期而擅自切断空调电源，这侵犯了业主的合法权益。

3. 物业费逾期的处理：

   • 如果业主逾期未缴纳物业费，物业公司应当通过合法途径进行催缴，如发送催缴通知、协商解决或提起诉讼等。擅自切断空调电源等非法手段不仅不能解决问题，还可能引发更大的纠纷。

实际操作角度分析

1. 物业的合理做法：

   • 物业在发现业主逾期未缴纳物业费时，应首先与业主进行沟通，了解逾期原因，并尝试协商解决方案。如果协商无果，可以按照物业服务合同的约定，采取发送催缴通知、加收滞纳金等合法措施。

2. 业主的应对措施：

   • 如果物业擅自切断了空调电源，业主可以首先与物业进行沟通，要求其立即恢复供电，并解释逾期缴纳物业费的原因。如果物业拒绝恢复供电或态度恶劣，业主可以向相关部门（如房管局、物业办等）投诉，甚至通过法律途径维护自己的合法权益。

法律后果分析

1. 物业的法律责任：

   • 如果物业擅自切断空调电源，导致业主遭受损失（如空调损坏、生活不便等），物业可能需要承担赔偿责任。此外，物业还可能因违反物业服务合同的约定而面临行政处罚或法律诉讼。

2. 业主的法律权益：

   • 业主有权要求物业恢复供电，并赔偿因断电造成的损失。如果物业拒绝履行义务，业主可以通过法律途径提起诉讼，要求物业承担相应的法律责任。

总结与建议：物业费逾期时，物业不可以直接关空调。双方应通过沟通、协商等合法途径解决问题。如果物业采取非法手段，业主应积极维护自己的合法权益，必要时可寻求法律帮助。如果你还有其他关于物业纠纷的问题，可以直接向我咨询。