结论：马路上撞狗后逃跑，在特定情况下可能构成肇事逃逸，但具体是否构成需结合实际情况判断。若构成肇事逃逸，将面临相应的法律责任；若不构成，也应妥善处理事故后续事宜。

详细分析：

1. 是否构成肇事逃逸：

   • 构成条件：肇事逃逸通常指的是在发生交通事故后，为逃避法律追究而逃跑的行为。在撞狗的情况下，如果狗有主人，且该事故被视为交通事故（即涉及公共道路上的车辆与动物之间的碰撞），那么逃跑行为有可能被认定为肇事逃逸。这主要取决于当地法律对“交通事故”的定义以及是否将动物视为交通事故中的“受害者”。
   • 不构成条件：如果狗是无主的，或者当地法律不将此类情况视为交通事故，那么逃跑行为可能不构成肇事逃逸。但即便如此，从道德和安全角度出发，驾驶员也应停车查看情况，确保没有造成其他损害或安全隐患。

2. 法律责任：

   • 若构成肇事逃逸：根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，肇事逃逸者可能面临罚款、拘留、吊销驾驶证等行政处罚。如果事故造成严重后果，如狗死亡且狗主人提出索赔，逃逸者还可能承担民事赔偿责任。在极端情况下，如果逃逸行为被认定为犯罪（如构成交通肇事罪），还可能面临刑事处罚。
   • 若不构成肇事逃逸：即使不构成肇事逃逸，驾驶员也应承担因碰撞造成的合理损失赔偿责任（如果狗有主人且提出了索赔）。此外，驾驶员还应考虑自己的道德责任，主动与狗主人联系并协商解决方案。

3. 处理建议：

   • 立即停车：无论是否构成肇事逃逸，驾驶员在撞到动物后都应立即停车查看情况。
   • 查看伤情：检查动物（以及可能涉及的其他物体或人）的伤情，必要时拨打急救电话或报警。
   • 联系主人：如果动物有主人，尝试联系主人并告知情况，协商解决方案。
   • 保留证据：如果可能的话，拍摄现场照片或视频作为证据，以备后续需要。
   • 遵守法律：根据当地法律的规定，履行相应的义务和责任。

后续行动建议：

• 如果您已经发生了此类情况，建议尽快与当地交警部门或法律机构联系，了解具体的法律责任和处理方式。
• 如果您是狗的主人，且您的狗被撞后逃逸者未停车处理，您可以向交警部门报案，并提供相关证据（如现场照片、视频等）以协助调查。

如有任何进一步的问题或需要具体的法律帮助，请直接向我咨询。